有没有办法将Berge的最大定理与信封定理联系起来？

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伯格定理指出

让 $X \in \mathbb R^m, \Theta \in \mathbb R^n$ ，是一个共同连续函数，是连续的（上，下半连续）紧凑值correspondence.The最大化价值函数和最大化是然后是连续的，是上半连续的。 $f : X \times \Theta \to \mathbb R$ $C : \Theta \rightrightarrows X$
$V (θ) := max_{x \in X} f (x, θ)$ $V(\theta) := \max_{x \in X}f(x, \theta)$ $C^{*} (θ) := {x \in C (θ) ∣ f (x, θ) = V (θ)}$ $C^\ast(\theta):=\{x \in C(\theta) \mid f(x, \theta )=V(\theta)\}$ $V : \Theta \to \mathbb R$ $C^\ast :\Theta \rightrightarrows X$

根据瓦里安（Varian）的微观经济分析（1992），第490页，信封定理就是：

$\frac{d M (a)}{d a} = \frac{\partial f (x, a)}{\partial a} ∣_{x = x (a)}$ $\frac{dM(a)}{da}=\frac{\partial f(x,a)}{\partial a}\mid_{x=x(a)}$

$x(a)$ 是的最大化子 $f(\cdot, a)$ 。

在我看来，信封定理包含Berge定理，但推导看起来更简单。两者之间有关系吗？

mathematical-economics academic-graduate optimization

— 伊壁鸠鲁
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看起来这两个目标并没有全神贯注。Berge建立值函数和最大化器集的属性。Envelope关心的是显示改变参数的作用是什么……也许您可以详细说明两者之间引起人们兴趣的那种联系。

— Alecos Papadopoulos'2

@AlecosPapadopoulos为我的问题的含糊表示歉意。现在，我发现这个问题源于我对卢卡斯（1978）对命题2的模糊记忆。现在，我可以更精确地制定它了。在效用函数和约束条件上有什么样的条件，才能使我们仅在通过Berge定理建立值函数的连续性后才应用包络定理？ people.hss.caltech.edu/~pbs/expfinance/Readings/Lucas1978.pdf

— Epicurus，

我认为您不必为了使用包络定理而需要“建立值函数的连续性”。它认为关键部分是关于控制的要点。参见Wikipedia页面上的定理2。在那里，V的连续性成为结果。无论如何，Wikipedia页面都完整陈述了定理。它会告诉您使用该定理需要假设的条件。en.wikipedia.org/wiki/Envelope_theorem

C^{*}

$C^*$

— jmbejara 2015年

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它们是相关的，通常属于同一讨论，但是正如@Alecos在评论中提到的那样，两个定理显示出不同的含义。

我想您所关注的是以下事实：如果导数存在，那么因为可微性意味着连续性，您也许可以从中获得最大定理的一部分。但是，要比较和对比两个定理，您不能只看结果。您还需要查看这些假设。例如，最大值定理不假设任何类型的可微性。包络定理可以（至少是它的某些形式）。在任何情况下，每种假设都不同（有些假设更强，有些则更弱）。

{\frac{\partial f (x, a)}{\partial a} |}_{x = x (a)}

$\left .\frac{\partial f(x, a)}{\partial a} \right |_{x=x(a)}$

另外，有这个。包络定理不告诉您有关控制功能的任何信息。因此，您绝对不能得到是上半连续的结果。 $C^*$

— 姆贝贾拉
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从评论中引用OP

效用函数和约束条件有什么样的条件，才能使我们仅在通过Berge定理建立值函数的连续性之后应用包络定理？ people.hss.caltech.edu/~pbs/expfinance/Readings/Lucas1978.pdf

在引用的卢卡斯（1978）论文中，命题1确定了

在此处输入图片说明

其中是值函数，而是其定义。因此，似乎是价格函数的连续性在这里被选为条件，但是在本文的前面，卢卡斯将效用函数定义为非负函数，即 $v(z,y;p)$ $(i)$

连续可微，有界，增加且严格凹

本文的命题2建立了价值函数的可微性，无需进一步假设。

— 阿莱科斯·帕帕多普洛斯
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