将纳什均衡扩展到具有无限策略的游戏

在Jehle和Reny的教科书中（我应该补充一点，我只读了几篇有趣的文章，但没有读到很多东西），有一个定理证明了有限的战略形式博弈中总是存在（混合）纳什均衡。该书假定所有参与者都有相同数量的可用动作，但是不难想象，如果不正确，该如何扩展。

但是，我感兴趣的是，是否可以将此扩展到游戏中，尤其是那些可能有无限选择的游戏。例如，在一个游戏中，玩家选择最高的数字获胜时显然没有均衡，但是例如，如果我们有相同的游戏，但是该数字必须在区间内 $[0, 100]$ （或包含其上限的任何间隔），最佳响应函数“收敛”。同样，我也怀疑竞争模型中需要“行为良好”的成本和需求函数才能获得“良好”的结果。

因此，我有两个问题：

是否存在任何定义明确的设置，使得具有无限策略选择的游戏将具有纳什均衡？
相关阅读内容是什么？

game-theory reference-request

Answers:

是的，有这样的设置。结果是

如果每个玩家的策略空间是

凸的

紧凑

如果收益是连续的，那么至少存在一个纳什均衡（可能在混合策略中）。

即使可能的动作集是无限的，这仍然成立。如果另外假设收益是准凹的，那么即使我们将注意力集中在纯策略上，最佳响应对应也将是凸的，因此在这种博弈中，我们可以保证在纯策略中至少有一个均衡。

我相信这里的原始参考是

IL Glicksberg。“ Kakutani不动点定理的进一步推广，适用于Nash平衡点。” 《美国数学学会学报》，3（1）：170–174，1952年。

不过，格里克斯伯格的论文中的处理方法似乎不太容易获得。Fudenberg＆Tirole的书“博弈论”的第1.3节是一个很好的开始参考。

— 无处不在
source

但是，“封闭且有界”是否必然意味着“凸且紧凑”？我可以想象，例如，

R^{2}

$\mathbb{R}^2$ 那不会是凸的。

不，封闭和有界的评论是关于紧凑性的：紧凑集的定义是封闭和有界的。

— 无处不在

是的，抱歉，我误读了“和”的位置。

实际上，引用的论文Glicksberg在紧致性描述不正确的情况下明确地工作-在规范向量空间中，以规范闭合和限制仅表示弱*紧致性。

— 迈克尔

@densep在匹配的美分游戏中，可用动作是离散的，因此该游戏具有非凸策略空间，因此上述语句中的第一个条件失败。

— 无处不在

尽管仍然需要紧致性和凸性，但以下参考文献涉及存在某些类型的不连续性的向量空间游戏。

Reny，P.（1999）“关于不连续博弈中纯混合策略纳什均衡的存在”，《计量经济学》67，1029-1056

— 亚当斯基
source