过渡矩阵：离散->连续时间

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我具有对应于Tauchen（1986）的代码（Python的当量此），其产生的一离散时间AR（1）处理的离散近似。

例如，如果将网格尺寸设置为3，则可以得出生产率的矢量

[A_1, A_2, A_3,]

和转移概率矩阵

A_11, A_12, A_13
A_21, A_22, A_23
A_31, A_32, A_33

在row i，column的情况下j，您可以从转换i为j，并且满足每行总和约为1的要求。

我想知道如何将其转换为等效于转换矩阵的连续时间。一组控制状态之间流速的泊松概率。

在这方面，我所记得的是，我们可以使用以下方法获得泊松概率的线性近似

P r o b (i \to j) = lim_{Δ \to 0} \exp (- λ_{i j} Δ) \approx 1 - λ_{i j} Δ

$Prob(i \to j) = \lim_{\Delta\to0} \exp(-\lambda_{ij}\Delta) \approx 1-\lambda_{ij}\Delta$

但是我看不到如何帮助我将以前的矩阵转换为 $\lambda$ s ...我期待任何建议。

computation stochastic-processes

— FooBar
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假设是的泊松转移速率，其中矩阵为表示的速率状态转变到状态，和给出的速率在哪个状态下，过渡到所有其他状态。每一行总和为0。 $B$ $n\times n$ $B_{ij}\geq 0$ $i\neq j$ $i$ $j$ $B_{ii}\leq 0$ $i$ $B$

然后，如果表示时间处的概率分布，则根据的定义，我们有ODE 我们知道这种ODE的解是什么样的：其中，是矩阵指数的。所以，如果我们想生成马尔科夫转移矩阵后，，我们需要有。 $p(t)$ $t$ $B$

\dot{p} (t) = B p (t)

$\dot{p}(t) = Bp(t)$

p (t) = e^{B t} p (0)

$p(t)=e^{Bt}p(0)$

e^{B t}

$e^{Bt}$

B t

$Bt$

B

$B$

A

$A$

t = 1

$t=1$

e^{B} = A

$e^B=A$

原则上，获得，我们需要反转的矩阵指数，采取矩阵对数的。问题在于每个矩阵都有许多矩阵对数-一维复空间中的对数具有无限多个分支，当我们讨论维空间中的矩阵时，这是复杂的。这些对数中的大多数都不是令人满意的泊松转换矩阵：也许它们不是真实的，或者条目没有正确的符号。然而，可能会有不止一个的情况：在某些情况下，对应于马尔可夫泊松超过一个，就像在某些情况下没有泊松 $B$ $A$ $n$ $B$ $A$ $B$ 对应于。太乱了 $A$

幸运的是，有一种情况是生活相对简单，几乎可以肯定包括您自己的情况：当所有特征值都是正的，不同的实数时 $A$ 。在这种情况下，只有对数是实数，并且很容易计算：您只需将矩阵对角化为并取特征值的实对数，得到，其中。事实上，你并不需要这样做自己：如果你使用命令在Matlab（大概是Python的太），它会给你正是这种。 $A$ $A=V\Sigma V^{-1}$ $B=V\Omega V^{-1}$ $\omega_{ii} = \log(\sigma_{ii})$ $\text{logm}(A)$ $B$

给定这个，您要做的就是验证它实际上是泊松矩阵。第一个要求是所有行的总和为零，这是由于的构造而自动满足的。**第二个要求是对角元素为负，非对角元素为正，这并不总是成立的（我认为），但您可以轻松进行检查。 $B$ $B$

为了了解这一点，我将为类似于离散化AR（1）的三态马尔可夫过程考虑一个现在，如果我在Matlab中输入，得到这确实是有效的泊松转换矩阵，因为我们可以轻松地检查一下行的总和为零并具有正确的符号-所以这就是我们的答案。 $A$

A = (\begin{matrix} 0.5 & 0.4 & 0.1 \\ 0.2 & 0.6 & 0.2 \\ 0.1 & 0.4 & 0.5 \end{matrix})

$A = \begin{pmatrix}0.5 & 0.4 & 0.1 \\ 0.2 & 0.6 & 0.2 \\ 0.1 & 0.4 & 0.5\end{pmatrix}$

B = logm (A)

$B=\text{logm}(A)$

B = (\begin{matrix} - 0.86 & 0.80 & 0.06 \\ 0.40 & - 0.80 & 0.40 \\ 0.06 & 0.80 & - 0.86 \end{matrix})

$B = \begin{pmatrix}-0.86 & 0.80 & 0.06 \\ 0.40 & -0.80 & 0.40 \\ 0.06 & 0.80 & -0.86\end{pmatrix}$

特征值为正的情况非常重要，因为它涵盖了所有在马尔可夫链中没有某种振荡行为（需要负或复杂的特征值）的情况，大概包括离散化的AR（1）。

更一般地，在Matlab上的命令将为我们提供主矩阵对数，这是一个主标量对数的类似物，该标量对数采用所有特征值在和之间具有虚部。问题是，这并不一定是我们想要的对数，并看着它，我们可能会错过一个泊松，做产生。（这就是为什么我们不必担心这一点的正特征值情况是如此之好。）尽管如此，即使在其他情况下，尝试查看它是否有效也无济于事。 $\text{logm}$ $-\pi$ $\pi$ $B$ $A$

顺便说一下，关于是否存在一个生成马尔可夫矩阵已得到广泛研究。这就是所谓的可嵌入性问题：请参阅Davies在这篇出色的调查文章中的概述和参考。不过，我不是问题的技术方面的专家；这个答案更多地基于我自己的骇客经验和直觉。 $B$ $A$

我要结束对ecksc的评论，并说可能会有更好，更直接的方法将离散拟合的AR（1）转换为有限状态连续时间过程，而不是仅仅采用通过Tauchen方法获得的矩阵和使它连续。但是我个人不知道更好的方法是什么！

**说明（尽管我很生疏）：具有唯一的Perron-Frobenius特征值1，并且由于是随机的，因此该特征值的右特征向量就是单位向量。当我们采用矩阵对数时，这仍然是正确的特征向量，现在特征值为0。 $A$ $A$ $e$

— 名义上严格
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无法发表评论，否则我会先要求更多细节。如果你想转换装反离散时间序列连续时间过程中的AR（1）过程中，我发现了一个相关的资源在这里第4页。

提供这些计算是为了从AR（2）进程估计CAR（2）进程的系数，但是您当然可以用0代替第二个系数来进行转换。

如果您想将离散时间的马尔可夫链转换为连续时间，它将变得更加复杂，在提供更多帮助之前，我将需要做更多阅读。:) 同时，这是我发现的有关连续时间马尔可夫链的一些不错的阅读材料。

— ecksc
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