对没有独立公理的彩票的偏好

假设一组结果可以按以下顺序排列：。此外，假设决策者优先于彩票而不是这些结果。假设对彩票的偏好是合理的，连续的，但不一定与独立公理一致。 $N$ $1\succ 2\succsim\cdots\succsim N$

是否在这种情况下最好的彩票是简并彩票 $(1,0,\dots,0)$ ？

如果违反了独立公理该怎么办？

decision-theory expected-utility

— K先生
source

标题不应该说在没有独立公理的情况下对彩票（风险）的偏好，因为期望效用Von Neumann Morgesten实际上是从独立公理派生的。

— user157623 2014年

@ user157623：标题已更改。感谢您的评论。

— Herr K.

不，不一定。没有独立性公理（或其他替代公理），您仅凭对结果的偏好就无法推断出（非退化）彩票的偏好。

例如，设为中结果的概率。然后优先于效用函数表示的彩票 $p^L_n$ $n \in \{1, 2, 3\}$ $\succeq^*$

U (L) = p_{1}^{L} + β [p_{2}^{L} p_{3}^{L}],

$U(L) = p^L_1 + \beta [p^L_2p^L_3],$

是连续和理性的，但不满足独立性公理。对于足够大的，它甚至没有的情况下是最好的彩票，虽然和。 $\beta$ $(1,0,0)$ $(1,0,0) \succ^* (0,1,0)$ $(1,0,0) \succ^* (0,0,1)$

要了解原因，请观察

U (1, 0, 0) = 1,

$U(1,0,0) = 1,$

U (0, 1, 0) = 0,

$U(0,1,0) = 0,$

U (0, 0, 1) = 0,

$U(0,0,1) = 0,$

但是，对于， $\beta > 4$

U (0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}) > 1 .

$U\left(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) > 1 .$

可以从以下事实看出违反独立公理的事实：， $\beta > 4$

[1, 0, 0] ≻ [0, 1, 0],

$[1,0,0] \succ [0,1,0] ,$

虽然

[0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}] ≻ [\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}] .

$\left[0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right] \succ \left[ \frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}\right].$

— 马丁·范德·林登
source