数学的使用和术语的不精确定义

作为经济学的研究生，我一直在尝试扩展数学的“工具集”。在此过程中，我与工程师，物理学家和数学家进行了交谈，其中许多人不愿在经济学中使用数学。他们的论据各不相同，但数学家迈克尔·埃德塞斯（Michael Edesess）的批评总结了一个共同的主题：

经济学假装是数学，但不是数学。有很大的不同。除非首先以极高的精度定义该术语，否则任何数学家都不会在公式或定理的陈述中使用该术语。

尽管经济学家可能认为他们已经定义了诸如“总需求”或“经济增长”之类的术语，但他们应该尝试阅读一些真正的数学知识，以了解确切的定义是什么。我认为，经济学家将定义工作从公式中使用术语的方式推论得出。

我相信我知道（很多）经济术语的精确定义，但是也许Edesess指出了一些我可能不熟悉的更深奥的数学基础。有人可以扩大他的论点，甚至可以反击吗？

Edesess在抨击实际上只是经济学的稻草人。我不确定他是否真的了解这一领域。首先，经济学不是数学。我们并没有声称它是。它更像是一门“应用”的科学。经济学家从未声称过这些定义在数学上是精确的。这些定义是建模构造，它们是用于应用程序的。它们的使用在某种程度上是暂时的。关键是要尝试以一种更精确的方式传达一种想法，而不只是用言语表达自己的想法，但是-每个人都知道它们并不像我们想要的那样精确，也没有最终的精确。他们本应进行辩论，然后加以完善。但是，正如所有应用科学家所知道的那样，您必须从某个地方入手，有时最好通过更简单的方式来传达想法-如果不是很详细的话。

提出更好的定义是经济学的重要组成部分。考虑这些例子。当考尔斯基金会于1932年成立时，其座右铭是“理论与测量”（该座右铭于1952年首次采用）。测量不是一件容易的事。再举一个例子，拉里·科特里科夫（Larry Kotlikoff）的许多工作都处理了许多财政措施在经济上并不是很好定义的概念。

爱因斯坦告诉我们，时间和距离都不是定义明确的物理概念。相反，它们的测量是相对于我们的参考系而言的-我们在宇宙中旅行的速度以及方向是什么。我们的物理参考框架可以视为我们的语言或标签约定。...科特利科夫（Kotlikoff）与哈佛大学的杰里·格林（Jerry Green）共同提供了一个命题的一般证明，即从经济上讲，赤字和许多其他常规财政措施是无内容的，结论是赤字只是所有语言中的一种任意造假。涉及理性主体的经济模型。

另外，以当前关注的另一个示例为例。拉尔斯·汉森（Lars Hansen）的最新工作（2013年经济学“诺贝尔”奖获得者）集中于定义某些经济概念（包括“泡沫”和系统性风险）的困难和持续失败。请参阅他的文章“识别和衡量系统风险中的挑战”。我是他转达的格言的粉丝，这归功于开尔文勋爵，

我经常说，当您可以衡量自己要说的东西，用数字表达时，您就知道了一些。但是，当您无法衡量它时，当您无法以数字来表达它时，您的知识就是微不足道的和令人不满意的：这可能是知识的开始，但是无论您怎么想，它的思想都几乎没有发展到科学的阶段。可能是问题。

他指出，“缩写版本出现在芝加哥大学的社会科学研究大楼。” 因此，是的，经济学家（作为社会科学家）肯定会认真对待这一点。

因此，关键是经济学家充分意识到了这些“定义”中的问题。它们是该领域正在进行的研究的一部分。如果人们不认为自己是解决问题的第一手，有时他们会被忽略。等等...

经济学假装是数学，但不是数学。

上帝禁止，如果你原谅我的语言。就像许多其他科学学科一样，经济学也使用数学，它肯定不是数学，它永远不可能成为数学。

数学可能会从现实世界中获得灵感，但是它随后定义并使用其概念，而与它们是否仍与灵感来源保持联系无关。
另一方面，经济学必须以一种与它试图研究的现实世界保持某种程度的相关性的方式来定义其概念。而且由于经济学所占据的“现实世界”是一个社会世界，充满着不确定性和法律，至今还没有人发现，因此，经济学永远无法达到“极高的精确性” 并保持相关性。所以呢？经济学不是数学，我们已经说过了。经济更难比数学更能说明问题，恰恰是因为它不能对自身强加这种精度而仍然有用。但是它遵循科学方法，因此，它不仅限于口头辩论，还尝试“数学化”它们（即使用符号语言），以便使它们的结论和内部一致性更加透明和集中。 。

产生口头论文要容易得多，首先需要进行一轮语义分析，然后，如果这一轮最终在某处结束，则讨论其本身。但是，一旦使用符号语言将其清除，我们就会清除雾气，并让我们的前提（以及我们的局限性和不完善之处）闪耀给任何有兴趣的人。这就是我所说的社会科学中的科学诚信，这就是为什么我认为经济学是社会科学的前卫。

数学中的定义

数学领域不仅仅是应用程序。实际上，这些应用是实际数学的结果，以证明和定理的形式出现。例如，在环论中，数学家需要证明a * 0 = 0的所有值a。以下是证明： Observe a * 0 = a(0 * 0) = a * 0 + a * 0. (1) Then we add -(a * 0) to both sides to get (a * 0) + -(a * 0) = (a * 0 + a * 0) + -(a * 0) (2) This gives us 0 = a * 0. (3)

当用于演示时，此应用程序使许多个人受益5 * 0 = 0，但这仅仅是更广泛的结果已被证明的结果。

这些证明如何构造？通过定义。为了证明上述结果，我们不能假设a(0 * 0) = a * 0 + a * 0；相反，我们需要使用“环”的定义，根据定义，该环允许第（1）行。类似地，我们需要使用“环”的定义，以便知道我们被允许-(a * 0)在第（2）行中使用。

经济学中的定义

但是，经济学没有以相同的身份使用定义。这里，定义严格用于“术语定义”，而不是“术语关系”。在经济学中，不能证明在短期内扩大货币供应量（这会导致通货膨胀）会减少失业。经济学中的定义并非为此而建立；更何况，他们做不到。
经济学中的定义不能做到这一点的部分原因是由于这些定义。考虑一下“好”，“市场”和“需求”这两个术语。所有这些术语都有草率的定义。它们并没有真正与其他任何东西相关。另一方面，我们拥有诸如“货币”和“ GDP”之类的术语，它们具有广泛而精确的定义。这些定义是有目的地选择的，因此，“货币”和“ GDP”的度量是精确的。
经济学之所以具有“差”定义的另一部分原因是对经济学本身的研究。经济学严重依赖个人的需求。这种需求不能被量化，也不能保证从一刻到下一刻都将保持不变。因此，没有任何真正的方式来构造在任何特定时刻都不会成立的证明。因此，经济学不需要严格的定义。但是，在数学中，无论使用多少数字，我们都可以构造证明，因此可以将限制超越到非常广泛的范围。在上面的证明中，我们使用a的是数字，而不是数字，因此我们不必依靠使用该数字，而只需使用该数字。通过使用a，我们知道将任意数字相乘0会得到结果0。

对Edesess的回应

Edesess在大多数情况下（大约95％）是正确的。实际上，经济学的大多数定义都没有“精确定义”到要求数学定义相同的水平。在数学中，定义是由整个数学界仔细考虑和决定的（并不是说经济定义不是，而是我所不知道的）。同样，根据经济学的性质，定义的使用不能用来证明任何东西。
然而，作为对Edesess的回应，由于经济学在发现方式上的根本差异，因此不应将其视为数学。通过民意测验，市场数据，供求关系图提高经济学水平；数学通过研究，证明和定理得到进一步发展。

对Edesess的批评，没有指出重点。现实比仅仅滥用数学定义要深刻得多。

数学语句的真蒂强烈时追溯用于公理化任何定义的能力，逻辑电平。从这个意义上讲，不会使用无法简化为已经存在的数学/逻辑上真实知识体系的定义来疯狂地找到任何数学家。但这是显而易见的。

在应用科学领域（生物学，医学，工程学等）中，人们从一个真正的问题（问题域）或现象入手，并以数学语言对问题进行建模。目的是解决/研究/模拟数学问题，以便能够说出有关实际问题的信息。

该批评实际上是对经济学的数学-化（从而拉开了与萨缪尔森在50年代60年代）。有人声称，有些经济学家进行了到数学领域的转换，而忽视了原始问题，而从未转换回问题领域（即人，公司，资源等的相互作用）。这些经济学家似乎对公式化线性代数关系或求解向量自回归方程式感到满意，没有经验依据（或更糟糕的是）声称这种经济学超越了短期考虑（即，我的理论无法在我们的一生中被伪造）。

有很多例子。一个显而易见的说法是所谓的一般均衡理论-不仅在数学上被证明是有缺陷的（通过多重均衡（参见Sonnenschein，Mantel，Debreu定理）在1970年代），而且被认为缺乏任何经验内容。结果，一些经济学家宁愿停留在数学化的领域-也许追逐更准确的模型（可计算的GE，动态GE，随机GE，动态随机GE等）-因此，经济学家伪装成数学家的误解性批评。可以使这种情况更准确地描述为伪数学家，伪装成经济学家（在问题领域中）。