就混合偏导数而言，什么是替代品/补品？

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我试图了解可替代性与混合偏导数的关系。我以为，相对于数量的变化，边际效用的变化将对应于因此当我将的部分变化作为，我感到困惑。这是否衡量MU 在改变时wrt改变的速率？与替代品有什么关系？ $x$

\frac{\partial ü}{\partial X}

$\frac{\partial U}{\partial x}$

y

$y$

x

$x$

y

$y$

microeconomics

— 斯坦·顺派克
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如果我们从基础开始：如果

与

互补，则

y

$y$

x

$x$

。对？

\frac{d y_{d}}{d p_{x}} < 0

$\frac{dy_d}{dp_x} < 0$

— snoram

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在此非常重要的是要注意，对于如何定义替代品/补品，存在多种相互矛盾的可能性。

一种方式是说，和是互补如果增加提高的边际效用（或，混合泛音的给定的对称性，反之亦然）： $x$ $y$ $y$ $x$ 这是foobar的的答案的建议。

\begin{matrix} (1) & \frac{\partial^{2} U}{\partial x \partial y} > 0 \end{matrix}

$\frac{\partial^2 U}{\partial x\partial y}>0\tag{1}$

换句话说，如果的价格下降导致的Hicksian（又称补偿）需求增加，则和是补。由于希克斯需求是成本（又名支出）函数的由衍生物谢泼德引理，这也可被表示为对混合泛音一个条件： $x$ $y$ $y$ $x$ 这是snoram的评论的建议，并且它是在微类更通常教导的概念。

\begin{matrix} （2） & \frac{\partial^{2} C}{\partial p_{X} \partial p_{ÿ}} < 0 \end{matrix}

$\frac{\partial^2 C}{\partial p_x\partial p_y}<0\tag{2}$

这些定义不相等！确实，在任何情况下只有两种商品，无论（1）中的的截面是否为正，这两种商品都必须根据（2）进行替代。 $U$

可以为这些概念提供富有成果的标签（尽管这些标签在生产情况下比实用功能更常见）。在希克斯之后，我们可以定义为补数（1）q补数：如果和是q补数，则数量的增加会导致的边际值增加。同时，我们可以通过定义调用补充（2）P-补：如果和是p互补，在降低价格的导致增加的需求。举例来说， $x$ $y$ $y$ $x$ $x$ $y$ $y$ $x$ Seidman（1989）进行了简要概述。

这两种概念在不同情况下都非常有用-取决于您感兴趣的内容！

更多技术说明：您可能会注意到（1）和（2）看起来不太相似：（2）是一个补偿概念，使我们保持相同的无差异曲线，而（1）不是。这是一个有效的批评，确实有一个替代的“ q-补数”概念得到补偿，而一个“ p-补数”概念没有得到补偿。

q补码的补偿概念可能比（1）与大多数消费者理论应用更相关，它询问的边际收益是否随着增加而增加，同时保持在相同的无差异曲线上。（它与消费者理论更相关，因为它不依赖于固有的模棱两可的基数。确实，显然，希克斯在1956年的需求理论修订中将其作为“ q补数”的消费者理论定义引入 $x$ $y$ $U$ ，但我自己没有它的副本。）根据距离函数（距离函数）的说法，该概念也具有部分混合的特征，这是一种很酷的微观理论工具，现在不再有人学习。距离函数的混合部分的矩阵称为Antonelli矩阵，它是心爱的Slutsky矩阵的广义逆。

$x$ $y$ $y$ $x$

$y$ $x$ $U$

— 名义上严格
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您能否弄清楚为什么等式2暗示它们必须是替代品？

— Stan Shunpike，2015年

\frac{\partial^{2} C}{\partial p_{x} \partial p_{y}} = \frac{\partial (\partial C / \partial p_{x})}{\partial p_{y}} = \frac{\partial h_{x}}{\partial p_{y}}

$\frac{\partial^2 C}{\partial p_x \partial p_y} = \frac{\partial(\partial C / \partial p_x)}{\partial p_y} = \frac{\partial h_x}{\partial p_y}$

h_{x}

$h_x$

x

$x$

是的，但这很清楚。再次感谢您提供另一个很棒的答案。

— Stan Shunpike，2015年

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$x =$ $y =$

$y$ $x$

$U(x, 0) + U(0, y) < U(x,y)$ $x$ $y$

在我们的鞋和电脑游戏中，交叉导数肯定为0。对于冰淇淋和汤匙，它最有可能是正数：拥有汤匙会增加从冰淇淋中获得的边际收益，因此正相关。

最后，考虑一下巧克力和冰淇淋。有人可能会说，他们的工作作为替代品（想想沙漠为例）：你要么需要一个或另一个。如果您免费获得它们，当然，同时拥有它们并没有什么坏处。但是，如果您必须支付合理的价格，则您宁愿为其中一种选择支付价格，并坚持这一选择。

— FooBar
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U_{x y} = U_{y x}

$U_{xy} = U_{yx}$