的直观的解释

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谁能提供一个直观的解释，说明为什么Slutsky矩阵乘以价格向量会得出零矩阵？

我知道这是真的，但我并不真正理解为什么。有人可以帮忙吗？

microeconomics

— 微帮助
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这是一阶齐次的多元函数的二阶导数/ Hessian矩阵的一般数学性质。

支出函数在价格上是一阶同质的。为什么？如果所有价格均按相同比例变化（这是我们检查均一性的数学属性的方式），则相对价格不会变化。如果相对价格没有改变，最低成本补偿的消费组合，以达到给定的效用定量组成不会改变在所有。然后，由于所有价格都以相同的比例增长，预算份额保持不变，而实现相同效用所需的支出也以相同的比例增长：一级的同质性。 $E$

通过对偶性，希克斯需求矢量是支出功能，梯度。 $H = \nabla_p E$

希克斯的需求向量为我们提供了需求的最小成本数量。由于支出函数的第一级的同质性，希克西需求向量的内积乘以价格向量等于支出函数。这也应该是直观的：我们只需将需求的每个数量乘以必须支付的单价，然后将这些产品相加即可得出为获得给定公用事业的最低成本捆绑包而必须承担的总支出。

因此，我们（简化微分符号）同时 $E = H\cdot p$ 。因此也 $\frac {\partial}{\partial p}E = H$

\frac{\partial}{\partial p} （ H \cdot p ） = H ⟹ H + \frac{\partial H}{\partial p} \cdot p = H

$\frac {\partial}{\partial p}(H\cdot p) = H \implies H + \frac {\partial H}{\partial p}\cdot p = H$

而且一定是这样

\frac{\partial H}{\partial p} \cdot p = 0

$\frac {\partial H}{\partial p}\cdot p = 0$

因此，希克斯的需求向量在价格上为零度的齐次均值（在数学上，这是针对齐次函数的欧拉定理的结果，即如果函数的齐次度为齐次，则其梯度为齐次度）。 $k$ $k-1$

但第一衍生物希克斯需求的（雅可比）（其是支出函数的二阶导数的海赛矩阵）是斯勒茨基矩阵，。所以。 $\frac {\partial^2 E}{\partial p^2}=\frac {\partial H}{\partial p} = S(p,w)$ $S(w,p) \cdot p = 0$

因此，结果源于支出函数第一级的同质性。是否有一个直观的解释，类似于支出函数的一阶同质性背后的直觉？嗯，前者直接来自后者，因此很难提出“单独的”直观论证。可以非正式地说，当相对价格保持不变时，需求补偿量“独立于”价格变动（不受价格变动的影响）。那么从几何学上讲，这意味着需求补偿量的变化率向量（这是Slutsky矩阵的每一行所包含的）与价格向量正交。

— 阿莱科斯·帕帕多普洛斯
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哇。这是一个了不起的答案。

— 2015年

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我不知道您是否会将其视为解释或证明。

从单变量演算中我们可以更好地理解一阶泰勒逼近，即一个满足某些规则性条件的函数可以在一点处被线性函数很好地逼近。说，然后围绕（即，当小） $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ $p^\ast$ $\delta$

F （ p^{*} + δ ） ≃ F （ p^{*} ） + δ \times {\frac{d F}{d p} |}_{p = p^{*}}

$f(p^\ast+\delta)\simeq f(p^\ast)+\delta\times \left.\frac{df}{dp}\right|_{p=p^\ast}$

现在，我们可以对多变量函数执行类似的操作。如果，然后 $h_i:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$

H_{一世} （ p^{*} + δ ） ≃ H_{一世} （ p^{*} ） + {\frac{\partial H_{一世} （ p ）}{\partial p_{1个}} δ_{1个} |}_{p = p^{*}} + \dots + {\frac{\partial H_{一世} （ p ）}{\partial p_{ñ}} δ_{ñ} |}_{p = p^{*}}

$h_i(\mathbf{p^\ast+\delta})\simeq h_i(\mathbf{p^\ast})+\left.\frac{\partial h_i(\mathbf{p})}{\partial p_1}\delta_1\right|_{p=p^\ast}+\dots+\left.\frac{\partial h_i(\mathbf{p})}{\partial p_n} \delta_n\right|_{p=p^\ast}$

现在，很明显，当我们将所有价格乘以相同的数字时，希克斯的需求不会改变。假设我们将价格从增加到。因此，每个价格按的量成比例地变化。我们应该看到的值没有变化上面，如果我们更换与。那么必须确保包括偏导数在内的附加项之和为0，这基本上会导致您的 $\mathbf{p^\ast}$ $\mathbf{p^\ast(1+\Delta)}$ ${p_j^\ast}$ $\Delta \times {p_j^\ast}$ $h_i$ $\delta$ $\Delta \mathbf{p^\ast}$ $S(\mathbf{p},w)\cdot \mathbf{p}=0$

换句话说，由于希克西亚对任何商品的需求都不会对保持相对价格不变的价格变化做出响应，因此，如果我们查看这些价格变化对商品的个体影响的总和，我们应该观察到0变化。

— 斋月
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$x(\alpha p,\alpha w)=x(p,w) \forall \alpha > 0$ $D_px(p,w)p+D_wx(p,w)w=0$ $p'x(p,w)=w$ $x(p,w)'p=w$ $S(p,w)p=0$

— 用户名
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