Cobb-Douglas的二元关系

我正在审查旧的期中考试，为即将到来的期中考试做准备，并遇到了以下问题：

让。现在，将上的和定义为和$\alpha , \beta \in (0,1)$$f_{\alpha}$$f_{\beta}$$\mathbb{R^2}$$f_{\alpha}(x)=x_1^{\alpha} x_2^{1 - \alpha}$$f_{\beta}(x)=x_1^{\beta} x_2^{1 - \beta}$

现在，令R为上的二进制关系。让我们有：$\mathbb{R_x^2}$${x,y} \subset R_+^2$

$$xRy \leftrightarrow f_{\alpha}(x) \geq f_{\alpha}(y) \land f_{\beta}(x) \geq f_{\beta}(y)$$

对于和哪些组合是完整的二进制关系，对于哪些组合是可传递的，对于哪些组合是连续的。$\alpha$$\beta$

我的想法

• 看来这只有在时才可以完成，但是当我继续使用进行WLOG时，我还不能完全完成证明。在这里有人可以尝试正式证明这是完全的iff？ $\alpha=\beta$$\alpha < \beta$$\alpha = \beta$

• 我认为，每当我们有xRy，yRz时，我们必然会有xRz。那是。因此，我认为这对于所有组合都是可传递的。我的证明涉及使用实数的良好顺序和为此特定关系给出的定义。如果有人认为并非所有请告诉我原因/方式。$\alpha,\beta$$\alpha,\beta$

• 我知道什么是连续性以及如何证明它。但是，我不确定该关系对于哪些组合是连续的。我怀疑所有组合都是连续的。这是真的？如果可以，您能证明吗？ $\alpha,\beta$$\alpha,\beta$

我将对二进制关系使用以下连续性定义。

定义1：如果对每个封闭以下集合，则上的二进制关系是连续的。 $\mathcal{R}$$\mathbb{R}^2_+$$x$

$$USC_x = \{y\in \mathbb{R}^2_+|y\mathcal{R}x\}$$ $$LSC_x = \{y\in \mathbb{R}^2_+|x\mathcal{R}y\}$$

定义2：如果是的序列并且，则，则集合是闭合的。$Z$$z_n$$Z$$z_n\rightarrow z$$z\in Z$

现在，按照您的问题定义，即 让。令是收敛到的序列。然后，对于每个， 由于和是连续的，因此我们有 暗示中的 ; 因此，$\mathcal{R}$

$$x\mathcal{R} y\iff f_\alpha(x) \geq f_\alpha(y)\text{ and }f_\beta(x) \geq f_\beta(y)$$ $x\in \mathbb{R}^2_+$$x_n$$USC_x$$x^\ast$$n$ $$f_\alpha(x_n) \geq f_\alpha(x)\text{ and }f_\beta(x_n) \geq f_\beta(x).$$ $f_\alpha$$f_\beta$ $$f_\alpha(x^\ast) \geq f_\alpha(x)\text{ and }f_\beta(x^\ast) \geq f_\beta(x).$$ $x^\ast\in USC_x$$USC_x$已关闭。我们还可以证明，使用相同的参数可以关闭。得出是连续的。$LCS_x$$\mathcal{R}$

备注1：上面的论点提供了分析有关语句的一般策略。传递性可以通过几个简单的步骤来证明。您关于此属性的声明含糊不清，应该更加严格。$\mathcal{R}$$\mathcal{R}$

备注2：关于完整性的解释也需要明确的论据。虽然确实表示完整性，但使之成为真的理由并不是您所建议的。还必须证明暗示并不完整（我相信应该是这种情况）。这将需要您做更多的工作。让我知道您是否遇到麻烦。$\alpha=\beta$$\mathcal{R}$$\alpha\neq \beta$$\mathcal{R}$

底线：据我真诚的拙见，您应该多做一些证明事情。也许拿一本关于抽象数学等的入门书。

一些想法：

为了完整，我认为对于任何$x_1 \geq y_1, x_2 \geq y_2$$\forall \alpha, \beta$

$$x_1^\alpha x_2^{1-\alpha} \geq y_1^\alpha y_2^{1-\alpha}$$ $$x_1^\beta x_2^{1-\beta} \geq y_1^\beta y_2^{1-\beta}$$

为了保持连续性，您可以使用两种定义，一种定义与序列，另一种定义与二元关系中某个点周围的ε球。

我解决了这个问题：

$R$

完整性：

$R$$\alpha \neq \beta$

$\alpha \to 1$$\beta \to 0$$f_{\alpha} \approx x_1$$f_{\beta} \approx x_2$

$\subset \mathbb{R}^2$$x_1 >> y_1$$x_2<<y_2$

$f_{\alpha}(x) \approx x_1 >> y_1 \approx f_{\alpha}(y)$

$f_{\beta}(x) \approx x_2 << y_2 \approx f_{\beta}(y)$

$f_{\alpha}(x) >> f_{\alpha}(y)$$f_{\beta}(x)<<f_\beta(y)$

$\alpha \neq \beta \space \exists [x,y] \subset \mathbb{R}_+^2 s.t.$$xRy$$yRx$

note_1-这里的直觉非常类似于delta / epsilon证明。对于alpha和beta的任意组合（两者不相等），我可以选择x，y，以便上述证明始终成立。

$\alpha = \beta$

传递性：

$[x,y,z] \subset \mathbb{R}^2$$xRy, yRx$

$xRz$

$Xry$$yRx$$\mathbb{R}_+^2$

$$f_{\alpha}(x) \geq f_{\alpha}(y) \geq f_{\alpha}(z)$$ $$f_{\beta}(x) \geq f_{\beta}(y) \geq f_{\beta}(z)$$

$$\implies xRz$$

$R$

连续性

以上证明，因此我将不再重复这部分证明。