Cobb-Douglas的二元关系
我正在审查旧的期中考试，为即将到来的期中考试做准备，并遇到了以下问题： 让。现在，将上的和定义为和α,β∈(0,1)α,β∈(0,1)\alpha , \beta \in (0,1)fαfαf_{\alpha}fβfβf_{\beta}R2R2\mathbb{R^2}fα(x)=xα1x1−α2fα(x)=x1αx21−αf_{\alpha}(x)=x_1^{\alpha} x_2^{1 - \alpha}fβ(x)=xβ1x1−β2fβ(x)=x1βx21−βf_{\beta}(x)=x_1^{\beta} x_2^{1 - \beta} 现在，令R为上的二进制关系。让我们有：R2xRx2\mathbb{R_x^2}x,y⊂R2+x,y⊂R+2{x,y} \subset R_+^2xRy↔fα(x)≥fα(y)∧fβ(x)≥fβ(y)xRy↔fα(x)≥fα(y)∧fβ(x)≥fβ(y)xRy \leftrightarrow f_{\alpha}(x) \geq f_{\alpha}(y) \land f_{\beta}(x) \geq f_{\beta}(y) 对于和哪些组合是完整的二进制关系，对于哪些组合是可传递的，对于哪些组合是连续的。αα\alphaββ\beta 我的想法 看来这只有在时才可以完成，但是当我继续使用进行WLOG时，我还不能完全完成证明。在这里有人可以尝试正式证明这是完全的iff？ α=βα=β\alpha=\betaα<βα<β\alpha < \betaα=βα=β\alpha = \beta 我认为，每当我们有xRy，yRz时，我们必然会有xRz。那是。因此，我认为这对于所有组合都是可传递的。我的证明涉及使用实数的良好顺序和为此特定关系给出的定义。如果有人认为并非所有请告诉我原因/方式。α,βα,β\alpha,\betaα,βα,β\alpha,\beta 我知道什么是连续性以及如何证明它。但是，我不确定该关系对于哪些组合是连续的。我怀疑所有组合都是连续的。这是真的？如果可以，您能证明吗？ α,βα,β\alpha,\betaα,βα,β\alpha,\beta