持续偏好定义

假设消费集$ X = R _ {+} ^ N $。根据定义，首选项是连续的，如果对于任何$ x \ in X $ sets $（y \ in in X：x \ succeq y）$和$（y \ in in X：y \ succeq x）$是关闭的。很明显，由效用函数$ u（k_ {1}，k_ {2}）= k_ {1} + k_ {2} $表示的首选项是连续的。但现在让我们采取一些x =（1,1）。然后设置$（在X中的y \：y \ successq（1,1））$因为接近无穷大而未关闭。我的问题是如何处理这个矛盾？

您似乎正在将“封闭间隔”与“封闭集合”混为一谈。当然，（多维）闭区间是闭集，但闭集的概念更宽。

封闭的集合恰好只是封闭的，不一定是有限的。

我理解“闭合”和“有界”这两个术语的日常含义可以表明“被封闭是一种比被束缚更强大的属性”（即被封闭意味着被束缚），但在数学中却不是这样。这两种财产都不意味着另一种。

是的，一组可以有界，但可能没有关闭。标准示例：考虑一组 合理的 $ [1,3] $中的数字。这是一个有界集。现在考虑有理数的序列

$$ x_ {n + 1} = \ frac {x_n} {2} + \ frac {1} {x_n}，\; \; x_0 = 3 $$

序列保持在$ [1,3] $区间，但是它 限制 是$ \ sqrt 2 $，这是不合理的。因此$ [1,3] $中的这组有理数是有界的，但它并未关闭，因为它不包含可以在其中构造的序列的限制点，保留在其中，除了其限制点。

那么，“封闭集”在数学中意味着什么呢？有多种方法可以看待它：

闭集是一组其补充是开放的。
闭集是与其“闭包”一致的集合。
闭合集是包含其所有限制点的集合。

在精神上尝试它们并坚持使用更直观的方法。