劣等的效用函数的例子是什么？

假设消费者比苹果和香蕉有标准的凸，单调偏好。

（更新：我希望偏好尽可能地成为“标准”。因此，理想情况下，我们在每个地方的MRS都在减少，在每个地方也都“越多越好”。）

说他的偏好可以用效用函数 $u(A,B)$ 。他必须满足一些预算约束 $p_AA+p_BB=y$ ，其中 $y$ 是他的收入。

然后什么是效用函数的一个实例，其中 $\frac{\partial A}{\partial y}<0$ ，在某些情况下至少？

在我看来，这是一个非常简单的问题，但暂时谷歌搜索我什么都找不到。

utility preferences

— 肯尼·李
source

Answers:

一件商品在整个收入范围内都不能逊色。

带有基芬行为的便利效用函数论文表明，对于具有效用形式的人：

U (x, y) = α_{1} \ln (x - γ_{x}) - α_{2} \ln (γ_{y} - y)

$U(x,y) = \alpha_1 \ln(x-\gamma_x)- \alpha_2 \ln(\gamma_y - y)$

X是低劣如果 $\gamma_x$ 和 $\gamma_y$ 是积极的， $0<\alpha_1<\alpha_2$ ，并在域 $x>\gamma_x$ 和 $0\leq y<\gamma_y$ 。

U (x, v) = x + \ln (v)

$U(x,v) = x + \ln(v)$

w

$w$

v^{*} = min (P_{x} / P_{V}, w)

$v^* = \min(P_x / P_V, w)$

w > P_{x} / P_{V}

$w>P_x / P_V$

v

$v$

我发现了一种效用函数的另一种时髦函数形式，其中一种商品劣等，但它对另一种商品的边际效用也不断提高：一种劣等商品和一种新颖的冷漠图

U = A_{1} \ln (x) + y^{2} / 2

$U = A_1 \ln(x) + y^2 /2$ 该函数给出了疯狂的冷漠图。

对我来说，劣质商品的经典例子是廉价食品，因为昂贵的美味食品最终有约束力，因此昂贵的美味食品将其排挤了出去。应当有一个可能的例子，其中次等是这种第二约束而不是效用函数的结果。

用另一个例子更新：

论文“吉芬良好的案例”（Spiegel（2014））显示，对于具有以下效用形式的人：，其中和是常数和正值。

U = {\begin{matrix} α X - β X^{2} / 2 + λ Y + δ Y^{2} / 2 & f o r & 0 \leq X \leq α / β \\ α^{2} / 2 β + λ Y + δ Y^{2} / 2 & f o r & X > α / β \end{matrix}}

$U = \begin{Bmatrix} \alpha X - \beta X^2 / 2 + \lambda Y + \delta Y^2 / 2 & for & 0\leq X\leq \alpha/\beta \\ \alpha^2 /2 \beta + \lambda Y + \delta Y^2 /2 & for& X > \alpha/\beta\end{Bmatrix}$

α, β, λ,

$\alpha, \beta, \lambda,$

δ

$\delta$

但是，与上述功能一样，该实用程序功能的MU增加为1（Y）。这显然在Giffen设置中很常见：

在加性效用函数的情况下，所有商品的边际效用随着商品的消费而减少，也就是说，收入的边际效用在减少，所有商品都是正常的并且彼此净替换。但是，如果对于某些商品（在我们的例子中为商品Y），边际效用为正且在增加，而对于其他商品，在边际的效用正在减小（在我们的例子中，商品X），则收入的边际效用在增加。表现出增加的边际效用的商品是奢侈品，而表现出减少的边际效用的商品是劣等商品。Liebhafsky（1969）和Silberberg（1972）以及wen证明了这些特性：用于开发上面的效用函数来说明吉芬商品的情况。

— 凯
source

但是，此功能的一个问题是，这并不是一个标准的实用程序功能。正如作者本人所写的那样，“对于良好的Y，边际效用随着消耗的更多而增加”。

— 肯尼·李

如果您对功能表单有其他要求，建议您将其添加到问题中，以提高答案的质量。

— 2015年

我做了：我说过，偏好必须是凸面的。

— 肯尼·LJ

所以你做到了，对不起。

— 2015年

让我们继续聊天中的讨论。

— 2015年

让我们看看在两种商品的情况下一种商品的劣势意味着什么。查阅Silberberg的《经济学的结构》（仍然是有史以来最好的本科微观经济学教科书之一）。有关更多详细信息，请参见10。

效用最大化描述为（星号表示最佳水平）

U_{A} (A^{*}, B^{*}) - λ^{*} p_{A} \equiv 0

$U_A(A^*,B^*) - \lambda^*p_A \equiv 0$

U_{B} (A^{*}, B^{*}) - λ^{*} p_{B} \equiv 0

$U_B(A^*,B^*) - \lambda^*p_B \equiv 0$

y - p_{A} A^{*} - p_{B} B^{*} \equiv 0

$y- p_AA^* - p_BB^* \equiv 0$

并注意使用身份符号代替简单的等式-这些关系始终保持最佳状态。然后我们可以区分双方并保持身份。这样做并求解方程的系统以确定各种导数，您将发现，如果好劣于，那么我们必须那 $3 \times 3$ $A$ $\frac {\partial A^*}{\partial y} <0$

p_{A} U_{B B}^{*} > p_{B} U_{A B}^{*}

$p_AU^*_{BB}> p_BU^*_{AB}$

如果我们愿意接受，则横截面可以为零，并且我们可以使用效用函数作为@BKay答案中提到的函数。 $U_{BB} >0$ $U_{AB}$

但是，如果我们要保持，则必须是，效用函数的跨导数也必须严格为负（因此不为零）。反过来，这意味着不可分离，加法或乘法的偏好。 $U_{BB} <0$ $U_{AB}$

也许您可以考虑类似

U (A, B) = \ln [a A^{k} + b B^{h}]

$U(A,B) =\ln\left[aA^k + bB^h\right]$

所有四个参数均为正例如，对于的值，无差异图为 $a=5, k=0.4, b=0.2, h=0.8$

在此处输入图片说明

我的猜测是，对于您可能可以将所有标准设置与劣势放在一起（当然还有合适的价格值和其他参数）。找到一阶条件，用预算约束中的代替，然后使用隐函数定理确定所需的参数上的条件。而且，不要忘记检查这些条件是否与效用最大化的二阶条件兼容。 $0<h<1$ $A$ $B$ $A$ $\frac {\partial A^*}{\partial y} <0$

评论2015年10月7日
在我看来，此答案中的某些评论混淆了具有单调变换的偏好表示和保留偏好排名的问题，具有良好的“自卑”属性。首选项及其表示形式与预算约束条件无关。在另一方面，“自卑”有一切做一个预算约束的存在，以及它如何影响选择（没有偏好），因为它的变化。

单调转换不会使一切保持“不变”。考虑效用函数及其单调变换。可以很容易地看到，虽然，我们却拥有。换句话说，单调变换可以保留束的排名，但这并不意味着它们在商品之间具有相同的关系。正如我在上面所写，“自卑”的性质取决于所使用的效用函数的二阶导数的符号和相对大小，符号和相对大小取决于所使用的实际功能形式。 $V = A^k+ B^h$ $U =\ln(A^k+ B^h)$ $\frac {\partial^2 V}{\partial AB} = 0$ $\frac {\partial^2 U}{\partial AB} \neq 0$

— 阿莱科斯·帕帕多普洛斯
source

不给出了相同的优先次序在束作为？这只是科布-道格拉斯式的偏好，在您获取日志后，它不应显示自卑感，而应显示恒定的预算份额。

U (A, B) = \ln [a A^{k} + b B^{h}]

$U(A,B) =\ln\left[aA^k + bB^h\right]$

U (A, B) = a A^{k} + b B^{h}

$U(A,B) = aA^k + bB^h$

— 2015年

@BKay的Cobb-Douglas实用程序函数表示可分离的首选项。正如我在回答中所写的那样，有必要（尽管还不够）具有非隔离性，才能具有自卑感。而且，这种特定的功能形式与Cobb-Douglas形式不同，具有这种不可分离的特性。没有对数，就没有。我将它留给有兴趣进一步探索的人。

— Alecos Papadopoulos

只是要指出，作为@Bkay已尽，是一个单调变换。因此，两者代表相同的偏好。

\ln [a A^{k} + b B^{h}]

$\ln [aA^k +bB^h]$

a A^{k} + b B^{h}

$aA^k +bB^h$

— 肯尼·LJ，2015年

@KenyLJ对于您的问题，最重要的是可以反映自卑的功能形式，即功能形式是否具有可分离性（如果要保持效用函数的二阶导数不断减少）。

— Alecos Papadopoulos

Alecos，真是令人赞叹。您的意思是，一个偏好完全相同的人（它们是单调变换）可以选择不同的消费束，具体取决于您如何编写其效用函数。请...

要获得具有合理/现实属性的易处理模型是非常棘手的。Heijman等人的 Sørensen给出了一个一般的货物案例。（2012），第 100-3。Haagsma（2012）给出了另一种针对两种商品且具有有限域的示例。检查其中的参考文献是获得劣等品实用功能的最简单方法，尽管看起来似乎有更多关于吉芬商品的文献，而不是要求不高的劣等品。 $n$

关于先前关于偏好凸性的讨论，在正单调变换时产生不同需求函数的效用函数不是拟凹的，因此，假设拟凹性是用任何不变的成分保留的，则偏好不是凸性的。Alecos Papadopoulos建议的功能不是Cobb-Douglas，应该很容易看到。
但是，如果它是准凹的，则将产生与相同的需求函数（以及相同的价格和收入效应）其中为正单调变换，无论是否弱可分离。警告：请注意对域的影响。 $u(x_1,x_2)$ $v(x_1,x_2)=f(u(x_1,x_2)$ $f$ $u$

— user_newbie10
source