细微的无差异曲线

如果消费者遵循连续性的合理性公理（即，他的偏好没有跳跃），那么效用函数的无差异曲线就被认为很薄。

为什么连续性（使得）暗示了无差异曲线？$x \succeq y \Rightarrow \exists \space z=x+\epsilon$$|z|\ge y \space \forall \epsilon > 0$

我认为仅凭连续性不足以保证无差异的曲线。

考虑偏好，这样对于选择集中的任何和，消费者对和都无所谓。似乎它必须适合粗无差异曲线的任何定义，因为整个选择集都位于一条无差异曲线上！$x$$y$$x$$y$

但是这些首选项还可以满足您对连续性的定义。

因此，如果将连续性与其他假设配对，似乎连续性仅意味着细微的无差异曲线。

首先，我认为这个问题是错误的。因为如果稀疏无差异曲线的定义使得消费者偏好的连续性意味着稀疏无差异曲线，那么，毫无疑问，连续性意味着稀有无差异曲线...这回答了您的问题。

但是，如果要对一条细无差异曲线进行合适的定义，我们可以首先说是一条粗无差异曲线，其中是一组可能的束，其中表示无差异，只要存在的和，使得暗示，其中是周围的一些epsilon邻域；其次说是一个薄

$$[q]=\{p\in\Delta|p\sim q\}$$ $\Delta$$\sim$$q'\in [q]$$\epsilon>0$$p\in N_{\epsilon}(q')$$p\sim q'$$N_{\epsilon}(q')$$q'$$[q]$无差异曲线，如果不粗的话。通俗地说，这意味着在粗略的差异曲线上有一些凸起，而在细微的差异曲线上没有这种凸起。$[q]$

本质上，以上是对预期效用的几何方法的简短说明（Chatterjee＆Krishna，2006）。使用上面的细无差异曲线的定义，他们在引理2.3中表明（i）连续性和（ii）独立性意味着细无差异曲线（请注意，它们并没有表明连续性本身就意味着细无差异曲线；请参见无处不在的答案） 。它们的定义依赖于以下两个拓扑概念。

1. 连续性的假设。所有子集和的，其中，是开放的; 在这里，请记住，开放集是一个集合，每个集合中的每个点都有一个邻域。因此，这种连续性概念与您的相似。$\{q|q\succ p\}$$\{q|p\succ q\}$$\Delta$$p\in \Delta$
2. 独立的假设。对于所有，和表示 这允许一些不错的代数。$p,q,r\in\Delta$$p\succ q$$\lambda\in (0,1]$ $$\lambda p+(1-\lambda)r\succ \lambda q+(1-\lambda)r;$$

现在，他们在引理2.3中所显示的基本上是：如果您有一条无差异曲线并考虑周围有一些epsilon邻域，则并不意味着对于任意小的。即，无论多么小，都没有ε邻域，以至于它仅包含束，这些束与无关。相反，每个epsilon邻域都将包含严格优于。$[q]$$N_{\epsilon}(q')$$q'\in [q]$$p\in N_{\epsilon}(q')$$p\sim q'$$\epsilon>0$$q'$$q'$

对于连续的效用函数，我认为值得注意的是，例如具有（Lebesgue）度量为0（请参阅如何证明中的连续曲线的图像）小数位数为？）$\mathbb{R}^2$$\mathbb{R}^2$$0$