理性但不连续偏好的效用表示的存在

这与Do不连续的偏好有关，意味着没有连续的效用函数？

我认为上述相关问题的标题是用一种方式表达的，这种方式掩盖了OP在身体中暗示的一个微妙不同但更有趣的问题。我想在这里明确提出这个问题。

是否存在可由（可能不连续的）效用函数表示的理性但不连续的偏好关系？

换句话说，如果满足完整性和传递性但是违反了连续性，我们还能找到一个效用函数来表示它吗？$\succsim$

从已知结果来看，答案似乎并不明显。

• 我们知道，当且仅当首选项是完整的，可传递的和连续的时，才存在连续的效用表示。但这并没有告诉我们当偏好不连续时会发生什么。
• 我们知道，对于某些不连续的偏好（例如词典偏好），不存在效用表示。但这个结论可以推广吗？

最后，我想指出违反连续性的要求意味着我们排除了有限（和可数？）域。$\succsim$

我认为一个基本问题是任何效用函数都定义了一个偏好，而不连续的效用函数可以用来定义不连续的偏好。因此，有许多不连续的偏好可以用效用函数来表示。一个例子：

让是连续的效用函数，从映射- [R 2至（0 ，1 ）。后者可能看似随意，但严格单调增加函数$U(x,y)$$\mathbb{R}^2$$(0,1)$从地图- [R++至（0，1），所以它应该是很好。也定义一个闭集ħ⊂- [R2。让 ù（X，ÿ）={ ù （X ，Ý ）如果（X ，ÿ ）∉ $\frac{x}{x+1}$$\mathbb{R}_{++}$$(0,1)$$H \subset \mathbb{R}^2$ 显然 ù（X，ÿ）是不连续的并且既不是由它限定的偏好。（H的边界优先于H之外的任何东西。）但这些偏好产生的方式似乎相当普遍。因此存在一大类不连续的偏好，其中存在效用表示。

$$\hat{U}(x,y) = \left\{ \begin{array}{ll} U(x,y) & \mbox{if} (x,y) \notin H \\ \\ U(x,y)+1 & \mbox{if} (x,y) \in H. \end{array} \right.$$ $\hat{U}(x,y)$$H$$H$

未来的问题：这个课程的“大”程度如何，可以使用哪种衡量标准？

$H$

$$\exists x \in H, \exists y \notin H: y \succ x,$$ $H$$U(x,y)$$\hat{U}(x,y)$

denesp上面的回答问道：

不连续但具有效用表示的偏好类有多大？

这可以通过克雷普斯微观经济基础I中的命题1.12来回答。我相信结果最初归功于Debreu。这是（逐字）陈述：

$\succsim$$X$$\succsim$$X^*$$X$$x \succ y$$x$$y$$X$$x \succsim x^* \succ y$$x^* \in X^*$

$[0,1]$$u(0)=0$$u(x)=1$$x>0$$u$

事实上，许多不能连续的偏好都是可以表达的。这是由于各种众所周知的表示结果不需要连续性。例如，以下一般结果适用于上述示例：

$X$$X$

$X$

Rader，T。（1963）“存在代表偏好的效用函数” 经济研究评论，30,229-232。

（唯一的区别是Rader证明了它的“不差”套装，我不得不“反转”上面例子中的偏好）。

@denesp回答这个问题（被接受）是不正确的。非连续效用函数意味着非连续偏好关系是不正确的。

$U(x,y)$$\mathbb{R}^2$$x^* \in \mathbb{R}^2$$H$$\{ x \in \mathbb{R}^2: x \succsim x^*\}$$H$$\succsim$$\hat{U}(x,y)$

$$\hat{U}(x,y) = \left\{ \begin{array}{ll} U(x,y) & \mbox{if} (x,y) \notin H \\ \\ U(x,y)+1 & \mbox{if} (x,y) \in H. \end{array} \right.$$

$\hat{U}(x,y)$$U(x,y)$

$H$$h$$\mathbb{R^2}$$h_n$$h$$h'$$U(h_n) < U(h') \,\,\forall \, n \in \mathbb{N}$$\hat{U}(h') = U(h') < \hat{U}(h)$