从具有正弦输入的离散闭环模型的计算输出 - 残差法

我有闭环 - 离散模型。这是它在matlab中的样子：

我需要计算具有分析输出（与Matlab的范围相同。Y （z $y(t)$$Y(z)$

哪里

$Y(z)=U(z)*G(z)$

输入是正弦波，因此正弦波的Z变换是：

$U(z) = \frac{z\sin(\omega T)}{z^2-2zcos(\omega T)+1}$

和

$G(z) = \frac{G_o(z)}{1+G_o(z)} = \frac{kz^3}{(a+k)z^3+bz^2+cz+d} = \frac{kz^3}{(a+k)(z-z_1)(z-z_2)(z-z_3)}$

哪里：

ķ 一个b Ç $\omega$，，，，， - 给出参数。$k$$a$$b$$c$$d$

所以：

$Y(z) = \frac{z\sin(\omega T)kz^3}{(z^2-2zcos(\omega T)+1)(a+k)(z-z_2)(z-z_3)(z-z_4)}$

我在Wolfram Alpha上看到$z^2-2zcos(\omega T)+1$

是

$z_0 = cos(\omega T)-isin(\omega T)$

$z_1 = cos(\omega T)+isin(\omega T)$

和根（休息，，）我计算使用函数在MATLAB从。z 3 z 4 G （z $z_2$$z_3$$z_4$roots$G(z)$

$z_2 = 0.9889+0.022i$

$z_3 = 0.9889-0.022i$

$z_4 = 0.8784$

残留方法是我所知道的，但其他方法也会很好。

例如：

$res_{z=z_0}=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)Y(z)z^{n-1}=\lim_{z\to z_0}\frac{z\sin(\omega T)kz^3z^{n-1}}{(a+k)(z-z_1)(z-z_2)(z-z_3)(z-z_4)}=lim_{z\to z_0}\frac{\sin(\omega T)kz^{n+3}}{(a+k)(z-cos(\omega T)-isin(\omega T))(z-z_2)(z-z_3)(z-z_4)}=\frac{\sin(\omega T)k[cos(\omega T)-isin(\omega T)]^{n+3}}{(a+k)(-2isin(\omega T))(cos(\omega T)-isin(\omega T)-z_2)(cos(\omega T)-isin(\omega T)-z_3)(cos(\omega T)-isin(\omega T)-z_4)}$

$y(t)$如你所知，是所有极点的残基总和。

为了从我的函数绘制图形，我必须摆脱方程的虚部。我怎样才能做到这一点？$y(t)$

是的，它很无聊，因为它是一个功课。