虚拟工作原理与Castigliano的第二定理

我在网上浏览了一些文献，但是似乎没有找到对这两种不同方法的很好的比较。它们都用于确定连续体中某个点的位移和斜率（θ旋转）。前者使用等于单元中应变能的虚拟单位力（当乘以目标位移时），后者使用相对于趋于零的虚拟力的微分。

哪一个更有效，哪个更准确？为什么会选择虚拟工作而不是Castigliano的虚拟工作？

简短的答案： Castigliano在大型复杂结构中的几个关键点提供了快速准确的解决方案，而虚拟工作为复杂的系统提供了可用的近似模型，否则这些模型将无法解决。

卡斯蒂利亚诺定理和虚拟功是同一枚数学硬币的两个方面。卡斯蒂利亚诺的方法早于虚拟工作，但开始了虚拟工作的基本原理。它构成了虚拟工作的简单部分，可以通过线性分析解决位移，但是我们使用虚拟工作可以更快地得到答案。在后半部分描述了虚拟功，其中我们无法通过线性分析来解决位移（没有求解微分方程和投入大量系数），而我们依靠虚拟功来找到一个适合许多假设的良好近似答案边界条件。

如上所述，在工程师用于Castigliano方法的大多数应用中，主要原理是使用线性弹性梁或桁架理论中已知的知识（可以在这些结构的多个方面使用），并快速求解结构遭受非常不寻常的力量。根据静力确定结构的许多未知力来编写力的方程式，然后去除未知力。施加未知（或不寻常，但已知）力之一，并使用线性模型和表格用于单作用力可以快速告诉我们结构中各个点的实际位移。单一力可能会在每牛顿原始力的反应点处产生500牛顿的力，即5牛顿。记录下来。移除未知力，并添加新力并进行测试。一旦找到所有这些反作用力和作用力，Castigliano的方法便可以解决整个载荷状态的最终挠度，这在求解的载荷状态表中可能找不到。这在有弹性支撑的情况下特别有用，弹性支撑根据它们施加的力而偏转，这在任何实际系统中都会发生。这种方法的唯一限制是表格的详细程度和叠加原理。只要可以使用叠加来处理系统，

虚拟功的原理超出了该原理-而是简单地为系数未知的位移写一个方程。它可能是控制DE的解决方案，也可能是完全不准确的，但是它需要能够解决所有边界条件（在A点，位移为0，等等）。对于梁，将位移方程式的二阶导数作为弯矩方程，将第三方程式的结果作为剪力方程。对于平板和其他连续体，位移是应变乘以长度。任何应力项都可以写为刚度张量乘以应变，因此整个虚拟功原理上可以简单地用未知位移方程表示。因此，工作只是解决那些未知的系数，以使它们最小化虚拟功（静态系统的势能或动态系统的势能与动能之和）。

在有限元分析中经常使用方程式作为示例，其中使用立方方程式代替位移来代替通常的四次位移方程式。这是因为我们最多有两个旋转自由度和两个位移自由度，所以我们最多只能有四个未知系数-三次方程式。请注意，这意味着有限元分析需要将分布的载荷分解为点载荷，以使三次方程具有与原始四次方程相同的挠度。这就是导致单个元素的跨度偏斜与原始四次方不同的原因：

即使没有叠加，只要您的刚度张量考虑了应力方面的应力变化，虚拟功的原理仍然适用。这可能需要一个独立的未知应力方程来代替刚度张量。需要在其系统中建立数学模型的工程师在许多领域中都使用了这种变体，这构成了几乎所有有限元方法的基础。总之，Castigliano在大型复杂结构中的几个关键点提供了快速准确的解决方案，而虚拟工作为复杂系统提供了可用的近似模型，否则这些模型将无法解决。