系统对阶跃功能（重载功能）的响应

我想计算对电/热系统阶跃函数的响应。通常，我可以“轻松地”计算传递函数： $H$

H (ω) = \frac{V_{o u t} (ω)}{V_{i n} (ω)}

$H(\omega) = \frac{V_{out}(\omega)}{V_{in}(\omega)}$

由于Heaviside函数的傅立叶变换（）（用WA计算）： $\mathcal{F}$

F （ θ （ Ť ） ） = V_{一世 ñ} （ ω ） = \sqrt{\frac{π}{2}} δ （ ω ） + \frac{一世}{\sqrt{2 π} ω}

$\mathcal{F}(\theta(t)) = V_{in}(\omega) = \sqrt{\frac{\pi}{2}}\delta(\omega)+\frac{i}{\sqrt{2\pi}\omega}$

因此，请注意傅立叶逆变换： $\mathcal{IF}$

V_{o u t} (t) = I F {(\sqrt{\frac{π}{2}} δ (ω) + \frac{i}{\sqrt{2 π} ω}) H (ω)}

$V_{out}(t) = \mathcal{IF} \left\{ \left( \sqrt{\frac{\pi}{2}}\delta(\omega)+\frac{i}{\sqrt{2\pi}\omega} \right) H(\omega) \right\}$

为了检查数学，我尝试为简单的RC系统计算响应：

我应该得到电容器的众所周知的电荷。传递函数：

H (ω) = \frac{1}{1 + i ω R C}

$H(\omega) = \frac{1}{1+i\omega R C}$

用WA（）计算傅立叶逆变换（ $\mathcal{IF}$ ）得到： $R=C=1$

如果我们在时间上往后退：/。所以问题是……我在做什么错？

我使用Laplace Transforms进行了相同的操作，但一切正常……但是我不明白为什么。

PS我不需要其他方法，只想了解我的方法有什么问题。

PS之所以使用WA是因为对于我更复杂的系统，我需要使用WA计算傅立叶变换。

— 世界绵羊
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这不是您要寻找的答案，但是有关如何对几乎所有传递函数进行离散逆Laplace变换的本文，您可能会感兴趣。

— user5108_Dan 2015年

感谢您提供有趣的链接！我仍在试图理解为什么需要Laplace变换。或

— 更妙的是

您熟悉拉普拉斯变换吗？拉普拉斯变换和傅立叶变换非常相似，但是我不足以描述确切的差异。EE通常在s域（拉普拉斯变换）中工作，如果用s替换jw，则它与H（w）方程相同。另外，如果您在dsp.stackexchange.com网站上发布此问题，可能会得到更好的答案。那些家伙很喜欢这个东西。

— user5108_Dan 2015年

是的，我注意到EE在这些情况下始终与Laplace一起使用，当我尝试过时，它可以正常工作！但直觉上，我会使用傅立叶。我会听取您的建议，然后访问另一个站点！

— Worldsheep

您可以在这里找到此问题的答案：dsp.stackexchange.com/questions/27896/…–

— Worldsheep

主要原因可能是由于Wolfram Alpha将逆傅立叶变换用作第二傅立叶变换。实际上，这样做可以“翻转时间”-可以用数学方式显示：

定义'' '倒装时间运算符' ''的是反转时间， $\mathcal{P}$ $\mathcal{P}[f(t)] ↦ f(−t)$

\begin{aligned} F^{0} & = 一世 d ， F^{1个} = F ， \\ F^{2} & = P ， F^{4} = 一世 d ， \\ F^{3} & = F^{- 1个} = P \circ F = F \circ P \end{aligned}

$\begin{align} \mathcal{F}^0 &= \mathrm{Id}, \quad \mathcal{F}^1 = \mathcal{F}, \\ \mathcal{F}^2 &= \mathcal{P}, \quad \mathcal{F}^4 = \mathrm{Id}, \\ \mathcal{F}^3 &= \mathcal{F}^{-1} = \mathcal{P} \circ \mathcal{F} = \mathcal{F} \circ \mathcal{P} \end{align}$

将傅里叶变换应用于系统3次将在正常时间内获得版本。由于波是时间一致的，因此通常没有关系。

— 标记
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