我如何找到四面体的周界？

我正在寻找最小化的方程式，以找到在给定四个3D点的情况下四面体外球面的中心坐标和半径。

我在互联网上发现的内容主要涉及平面3D三角形的外接球面，一些粗略的数学定义或一些非常单一的情况，例如规则四面体。无论如何，我设法找到下面的等式，但我错过了一些东西：

    ->  ->      ->
let d1, d2, and d3 three vectors of any face of the triangle :

    | d1x  d1y  d1z |   | x |   | d1^2 |
2 * | d2x  d2y  d2z | * | y | = | d2^2 |
    | d3x  d3y  d3z |   | z |   | d3^2 |

我在该领域的知识有其局限性，但我认为我可以处理矩阵和向量运算。但是等式的右边部分是每个向量的范数的平方吗？（它们都放入向量中）。该方程式有效吗？只是作家懒散地忘了写| d1 | ^ 2吗？还是定义某些数学属性的常用方法。

PS：这是用于Delaunay三角剖分实现的。该方程式（数字9）在下面的链接中：https : //www2.mps.mpg.de/homes/daly/CSDS/t4h/tetra.htm

尽管这是一条古老的线索，但我认为后代可以参考一下。公式的来源来自Philip J. Schneider和David H. Eberly的“ 用于计算机图形学的几何工具”。根据文本需要注意的事情

四面体V0，V1，V2，V3的顺序使其与规范的（0，0，0），（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1）同构）。

据我了解，同构性在几何中使用时可能有几种不同的含义。如果他表示图论是同构的，则以下代码应正确运行，因为任何四面体的拓扑都是相同的（K4，完整的图）。我使用规范顶点的顺序中的各种排列来测试针对Wolfram alpha的函数结果，但结果没有差异。如果顺序证明有问题，建议您在输入此函数后检查由顶点V1，V2，V3形成的三角形的法线，并通过点积检验将这些点视为半空间，以找出如果那个三角形朝向正确的方向。如果不是，那么简单std::swap三角形的任意两个顶点中的一个会颠倒法线的方向，您可以继续。但是就像我说的那样，我发现各种排列没有区别。

这是经过翻译的代码，没有使用矩阵来避免实现上的混淆，这很简单。

void Circumsphere(const Vec3& v0, const Vec3& v1, const Vec3& v2, const Vec3& v3, Vec3* center, float* radius)
{
  //Create the rows of our "unrolled" 3x3 matrix
  Vec3 Row1 = v1 - v0;
  float sqLength1 = length2(Row1);
  Vec3 Row2 = v2 - v0;
  float sqLength2 = length2(Row2);
  Vec3 Row3 = v3 - v0;
  float sqLength3 = length2(Row3);

  //Compute the determinant of said matrix
  const float determinant =   Row1.x * (Row2.y * Row3.z - Row3.y * Row2.z)
                            - Row2.x * (Row1.y * Row3.z - Row3.y * Row1.z)
                            + Row3.x * (Row1.y * Row2.z - Row2.y * Row1.z);

  // Compute the volume of the tetrahedron, and precompute a scalar quantity for re-use in the formula
  const float volume = determinant / 6.f;
  const float iTwelveVolume = 1.f / (volume * 12.f);

  center->x = v0.x + iTwelveVolume * ( ( Row2.y * Row3.z - Row3.y * Row2.z) * sqLength1 - (Row1.y * Row3.z - Row3.y * Row1.z) * sqLength2 + (Row1.y * Row2.z - Row2.y * Row1.z) * sqLength3 );
  center->y = v0.y + iTwelveVolume * (-( Row2.x * Row3.z - Row3.x * Row2.z) * sqLength1 + (Row1.x * Row3.z - Row3.x * Row1.z) * sqLength2 - (Row1.x * Row2.z - Row2.x * Row1.z) * sqLength3 );
  center->z = v0.z + iTwelveVolume * ( ( Row2.x * Row3.y - Row3.x * Row2.y) * sqLength1 - (Row1.x * Row3.y - Row3.x * Row1.y) * sqLength2 + (Row1.x * Row2.y - Row2.x * Row1.y) * sqLength3 );

  //Once we know the center, the radius is clearly the distance to any vertex
  *radius = length(*center - v0);
}