计算两个圆的交点？

我试图弄清楚如何在数学上得出给定中心Lat / Lon和每个点的半径的情况下地球表面上两个相交圆的共同点。

例如，给定：

• 纬度/经度（37.673442，-90.234036）半径107.5海里
• 纬度/经度（36.109997，-90.953669）半径145海里

我应该找到两个相交点，其中之一是（36.948，-088.158）。

在平坦的平面上解决这个问题很容易，但是我没有在诸如地球表面之类的不完美球体上求解方程的经验。

一旦认识到这一点，在球面上就比在飞机上难得多

1. 所讨论的点是三个球体的相互交点：一个在给定半径的x1位置（在地球表面上）下方居中的球体，一个在给定半径的x2位置（在地球表面上）下方居中的球体和地球本身，这是一个以给定半径的O =（0,0,0）为中心的球体。

2. 前两个球体与地球表面的交点是一个圆，它定义了两个平面。因此，所有三个球体的相互交点位于这两个平面的交点上：直线。

因此，问题被简化为使线与球相交，这很容易。

这是详细信息。输入是地球表面上的点P1 =（lat1，lon1）和P2 =（lat2，lon2），以及两个对应的半径r1和r2。

1. 将（lat，lon）转换为（x，y，z）地心坐标。像往常一样，因为我们可以选择地球具有单位半径的度量单位，

   x = cos(lon) cos(lat)
   y = sin(lon) cos(lat)
   z = sin(lat).
   

   在此示例中，P1 =（-90.234036度，37.673442度）具有地心坐标x1 =（-0.00323306，-0.7915，0.61116）和P2 =（-90.953669度，36.109997度）具有地心坐标x2 =（-0.0134464，-0.807775 ，0.589337）。

2. 将半径r1和r2（沿球体测量）转换为沿球体的角度。根据定义，一海里（NM）是1/60弧度（即pi / 180 * 1/60 = 0.0002908888弧度）。因此，作为角度，

   r1 = 107.5 / 60 Degree = 0.0312705 radian
   r2 = 145 / 60 Degree = 0.0421788 radian
   

3. 围绕x1的半径r1 的测地线圆是地球表面与以cos（r1）* x1为中心的半径sin（r1）的欧几里得球的交点。

4. 由围绕cos（r1）* x1的半径sin（r1）的球面与地球表面的交点确定的平面垂直于x1并穿过点cos（r1）x1，因此其等式为x.x1 = cos （r1）（“。”代表通常的点积）；对于另一架飞机也是如此。在这两个平面的交点上将存在一个唯一点x0，这是x1和x2的线性组合。写x0 = a x1 + b * x2这两个平面方程是

   cos(r1) = x.x1 = (a*x1 + b*x2).x1 = a + b*(x2.x1)
   cos(r2) = x.x2 = (a*x1 + b*x2).x2 = a*(x1.x2) + b
   

   利用x2.x1 = x1.x2的事实（我将其写为q），解（如果存在）由下式给出

   a = (cos(r1) - cos(r2)*q) / (1 - q^2),
   b = (cos(r2) - cos(r1)*q) / (1 - q^2).
   

   在运行的示例中，我计算出a = 0.973503和b = 0.0260194。

   显然，我们需要q ^ 2！=1。这意味着x1和x2既不能是同一点，也不能是对映点。

5. 现在，两个平面相交线上的所有其他点与x0相差一个矢量n的几倍，矢量n相互垂直于两个平面。叉积

   n = x1~Cross~x2
   

   如果n不为零，该作业是否执行：再次，这意味着x1和x2既不是重合的也不是完全相反的。（我们需要小心地计算叉积，因为当x1和x2彼此接近时，它涉及很多相减的减法。）在示例中，n =（0.0272194，-0.00631254，-0.00803124） 。

6. 因此，我们寻找位于地球表面的x0 + t * n形式的两个点：即它们的长度等于1。等效地，它们的平方长度为1：

   1 = squared length = (x0 + t*n).(x0 + t*n) = x0.x0 + 2t*x0.n + t^2*n.n = x0.x0 + t^2*n.n
   

   x0.n的项消失了，因为x0（x1和x2的线性组合）垂直于n。两种解决方案很容易

   t = sqrt((1 - x0.x0)/n.n)
   

   及其负面影响。再次需要高精度，因为当x1和x2接近时，x0.x0 非常接近1，从而导致浮点精度下降。在示例中，t = 1.07509或t = -1.07509。因此，交点的两个点相等

   x0 + t*n = (0.0257661, -0.798332, 0.601666)
   x0 - t*n = (-0.0327606, -0.784759, 0.618935)
   

7. 最后，我们可以通过将地心线（x，y，z）转换为地理坐标，将这些解转换回（lat，lon）：

   lon = ArcTan(x,y)
   lat = ArcTan(Sqrt[x^2+y^2], z)
   

   为经度，使用广义反正切范围为返回值-180到180度（在计算应用，这一函数的两个 x和y作为参数，而不仅仅是比Y / X;它有时被称为“ATAN2”）。

   我获得了两个解决方案（-88.151426、36.989311）和（-92.390485、38.238380），在图中以黄色圆点显示。

轴显示地心（x，y，z）坐标。灰色斑块是地球表面经度-95至-87度，纬度33至40度（以1度刻度标出）的部分。地球表面已经部分透明，可以显示所有三个球体。计算出的解决方案的正确性通过黄点位于球体的交点处显而易见。

该椭球的情况下：

这个问题是寻找被定义为“中线”的海上边界之一的概括，关于这一主题有大量文献。我对此问题的解决方案是利用等距的方位角投影：

1. 在交叉点猜
2. 使用这个猜出的交点作为等距方位角投影的中心来投影两个基点，
3. 解决二维投影空间中的相交问题。
4. 如果新的相交点与旧的相交点太远，请返回到步骤2。

该算法二次收敛，并在椭球上产生精确的解。（对于海洋边界，要求准确性，因为它决定了捕鱼，石油和矿产的权利。）

测地线第14节给出了关于旋转椭球的公式。椭球等距方位角投影由GeographicLib提供。在椭球的大地测量投影中可以使用MATLAB版本 。

这是一些R代码可以做到这一点：

p1 <- cbind(-90.234036, 37.673442) 
p2 <- cbind(-90.953669, 36.109997 )

library(geosphere)
steps <- seq(0, 360, 0.1)
c1 <- destPoint(p1, steps, 107.5 * 1852)
c2 <- destPoint(p2, steps, 145 * 1852)

library(raster)
s1 <- spLines(c1)
s2 <- spLines(c2)

i <- intersect(s1, s2)
coordinates(i)

#        x        y
# -92.38241 38.24267
# -88.15830 36.98740

s <- bind(s1, s2)
crs(s) <- "+proj=longlat +datum=WGS84"
plot(s)
points(i, col='red', pch=20, cex=2)

在@whuber的答案之后，这是一些Java代码，由于两个原因，它们很有用：

• 它突出显示了有关ArcTan的陷阱（适用于Java，也许还有其他语言？）
• 它处理可能的极端情况，包括@whuber答案中未提及的情况。

它不是经过优化或完整的（我已经省略了明显的类，例如Point），但应该可以解决问题。

public static List<Point> intersection(EarthSurfaceCircle c1, EarthSurfaceCircle c2) {

    List<Point> intersections = new ArrayList<Point>();

    // project to (x,y,z) with unit radius
    UnitVector x1 = UnitVector.toPlanar(c1.lat, c1.lon);
    UnitVector x2 = UnitVector.toPlanar(c2.lat, c2.lon);

    // convert radii to radians:
    double r1 = c1.radius / RadiusEarth;
    double r2 = c2.radius / RadiusEarth;

    // compute the unique point x0
    double q = UnitVector.dot(x1, x2);
    double q2 = q * q;
    if (q2 == 1) {
        // no solution: circle centers are either the same or antipodal
        return intersections;
    }
    double a = (Math.cos(r1) - q * Math.cos(r2)) / (1 - q2);
    double b = (Math.cos(r2) - q * Math.cos(r1)) / (1 - q2);
    UnitVector x0 = UnitVector.add(UnitVector.scale(x1, a), UnitVector.scale(x2, b));

    // we only have a solution if x0 is within the sphere - if not,
    // the circles are not touching.
    double x02 = UnitVector.dot(x0, x0);
    if (x02 > 1) {
        // no solution: circles not touching
        return intersections;
    }

    // get the normal vector:
    UnitVector n = UnitVector.cross(x1, x2);
    double n2 = UnitVector.dot(n, n);
    if (n2 == 0) {
        // no solution: circle centers are either the same or antipodal
        return intersections;
    }

    // find intersections:
    double t = Math.sqrt((1 - UnitVector.dot(x0, x0)) / n2);
    intersections.add(UnitVector.toPolar(UnitVector.add(x0, UnitVector.scale(n, t))));
    if (t > 0) {
        // there's only multiple solutions if t > 0
        intersections.add(UnitVector.toPolar(UnitVector.add(x0, UnitVector.scale(n, -t))));
    }
    return intersections;
}

另外，重要的是，请注意-的用法与atan2@whuber答案的预期相反（我不知道为什么，但是有效）：

    public static Point toPolar(UnitVector a) {
        return new Point(
                Math.toDegrees(Math.atan2(a.z, Math.sqrt(a.x * a.x + a.y * a.y))),
                Math.toDegrees(Math.atan2(a.y, a.x)));          
    }

@wuhber答案的有效“ R”代码。

P1 <- c(37.673442, -90.234036)
P2 <- c(36.109997, -90.953669) 

#1 NM nautical-mile is 1852 meters
R1 <- 107.5
R2 <- 145

x1 <- c(
  cos(deg2rad(P1[2])) * cos(deg2rad(P1[1])),  
  sin(deg2rad(P1[2])) * cos(deg2rad(P1[1])),
  sin(deg2rad(P1[1]))
);

x2 <- c(
  cos(deg2rad(P2[2])) * cos(deg2rad(P2[1])),
  sin(deg2rad(P2[2])) * cos(deg2rad(P2[1])),
  sin(deg2rad(P2[1]))
);

r1 = R1 * (pi/180) * (1/60)
r2 = R2 * (pi/180) * (1/60)

q = dot(x1,x2)
a = (cos(r1) - cos(r2) * q) / (1 - q^2)
b = (cos(r2) - cos(r1) * q)/ (1 - q^2)

n <- cross(x1,x2)

x0 = a*x1 + b*x2


t = sqrt((1 - dot(x0, x0))/dot(n,n))

point1 = x0 + (t * n)
point2 = x0 - (t * n)

lat1 = rad2deg(atan2(point1[2] ,point1[1]))
lon1= rad2deg(asin(point1[3]))
paste(lat1, lon1, sep=",")

lat2 = rad2deg(atan2(point2[2] ,point2[1]))
lon2 = rad2deg(asin(point2[3]))
paste(lat2, lon2, sep=",")

如果一个圆是Nortstar，则存在单位球最简单的方法。

您可以使用Nortstar来衡量自己的纬度。然后，您在此球体上具有相对位置。v1（0，sin（la），cos（la））您可以从almanach知道另一颗恒星（star2）的位置（角度）。v2（sin（lo2）* cos（la2），sin（la2），cos（lo2）* cos（la2））其向量。从球面方程。

lo2是相对经度。它的未知。

您与star2之间的夹角也可以测量，（m）而且您知道，两个单位向量的内积为cos（夹角）。cos（m）= dot（v1，v2）现在您可以计算相对经度（lo2）。lo2 = acos（（cos（m）-sin（la）* sin（la2））/（cos（la）* cos（la2））））

毕竟，您将star2的真实经度添加到lo2中。（或子，取决于它在您的西边还是东边。）现在，lo2是您的经度。

对不起，我的英语，我从没学过这种语言。

2件事：北极星是极星。

另一个。因为相对于水平线测得的角度，总是需要90角校正。它对m角也有效。

ps：实际角度均值：星号位置-时间校正。