Eratosthenes筛子-查找素数Python

只是为了澄清，这不是一个作业问题:)

我想为正在构建的数学应用程序找到质数，并遇到了Eratosthenes方法的Sieve。

我已经用Python编写了一个实现。但这太慢了。可以说，如果我想找到所有小于200万的素数。耗时> 20分钟。（我此时已停止）。我怎样才能加快速度？

def primes_sieve(limit):
    limitn = limit+1
    primes = range(2, limitn)

    for i in primes:
        factors = range(i, limitn, i)
        for f in factors[1:]:
            if f in primes:
                primes.remove(f)
    return primes

print primes_sieve(2000)

更新： 我最终对这段代码进行了分析，发现花了很多时间从列表中删除一个元素。考虑到它必须遍历整个列表（最坏的情况）以找到元素，然后删除它，然后重新调整列表（也许会继续复制吗？），这是完全可以理解的。无论如何，我掏出了字典的清单。我的新实现-

def primes_sieve1(limit):
    limitn = limit+1
    primes = dict()
    for i in range(2, limitn): primes[i] = True

    for i in primes:
        factors = range(i,limitn, i)
        for f in factors[1:]:
            primes[f] = False
    return [i for i in primes if primes[i]==True]

print primes_sieve1(2000000)

您没有完全实现正确的算法：

在您的第一个示例中，primes_sieve不维护要触发/未设置的素数标志的列表（如算法中一样），而是连续调整整数列表的大小，这非常昂贵：从列表中删除一个项需要移动所有后续项下降一个

在第二个示例中，primes_sieve1维护素数标志的字典，这是朝着正确方向迈出的一步，但是它以未定义的顺序遍历字典，并多余地剔除因数的因子（而不是像算法中那样仅素数的因子） ）。您可以通过对键进行排序并跳过非质数（这已经使其速度提高了一个数量级）来解决此问题，但是直接使用列表仍然更加有效。

正确的算法（使用列表而不是字典）看起来像：

def primes_sieve2(limit):
    a = [True] * limit                          # Initialize the primality list
    a[0] = a[1] = False

    for (i, isprime) in enumerate(a):
        if isprime:
            yield i
            for n in range(i*i, limit, i):     # Mark factors non-prime
                a[n] = False

（请注意，这还包括从素数的平方（i*i）而不是其双数开始的非素数标记的算法优化。）

def eratosthenes(n):
    multiples = []
    for i in range(2, n+1):
        if i not in multiples:
            print (i)
            for j in range(i*i, n+1, i):
                multiples.append(j)

eratosthenes(100)

从数组（列表）的开头删除需要将其后的所有项目下移。这意味着从开头开始以这种方式从列表中删除每个元素都是O（n ^ 2）操作。

您可以使用集合更有效地执行此操作：

def primes_sieve(limit):
    limitn = limit+1
    not_prime = set()
    primes = []

    for i in range(2, limitn):
        if i in not_prime:
            continue

        for f in range(i*2, limitn, i):
            not_prime.add(f)

        primes.append(i)

    return primes

print primes_sieve(1000000)

...或者，避免重新排列列表：

def primes_sieve(limit):
    limitn = limit+1
    not_prime = [False] * limitn
    primes = []

    for i in range(2, limitn):
        if not_prime[i]:
            continue
        for f in xrange(i*2, limitn, i):
            not_prime[f] = True

        primes.append(i)

    return primes

快多了：

import time
def get_primes(n):
  m = n+1
  #numbers = [True for i in range(m)]
  numbers = [True] * m #EDIT: faster
  for i in range(2, int(n**0.5 + 1)):
    if numbers[i]:
      for j in range(i*i, m, i):
        numbers[j] = False
  primes = []
  for i in range(2, m):
    if numbers[i]:
      primes.append(i)
  return primes

start = time.time()
primes = get_primes(10000)
print(time.time() - start)
print(get_primes(100))

我意识到这并没有真正回答如何快速生成素数的问题，但是也许有些人会发现这种替代方法很有趣：由于python通过生成器提供了惰性评估，因此eratosthenes的筛子可以完全按照以下说明来实现：

def intsfrom(n):
    while True:
        yield n
        n += 1

def sieve(ilist):
    p = next(ilist)
    yield p
    for q in sieve(n for n in ilist if n%p != 0):
        yield q


try:
    for p in sieve(intsfrom(2)):
        print p,

    print ''
except RuntimeError as e:
    print e

这里有try块，因为算法一直运行到炸毁堆栈为止，并且没有try块，则显示回溯，从而将要查看的实际输出推到了屏幕之外。

通过结合许多爱好者（包括上面评论中的Glenn Maynard和MrHIDEn）的贡献，我想到了以下python 2代码：

def simpleSieve(sieveSize):
    #creating Sieve.
    sieve = [True] * (sieveSize+1)
    # 0 and 1 are not considered prime.
    sieve[0] = False
    sieve[1] = False
    for i in xrange(2,int(math.sqrt(sieveSize))+1):
        if sieve[i] == False:
            continue
        for pointer in xrange(i**2, sieveSize+1, i):
            sieve[pointer] = False
    # Sieve is left with prime numbers == True
    primes = []
    for i in xrange(sieveSize+1):
        if sieve[i] == True:
            primes.append(i)
    return primes

sieveSize = input()
primes = simpleSieve(sieveSize)

在我的机器上以10为幂的不同输入进行计算所需的时间为：

• 3：0.3毫秒
• 4：2.4毫秒
• 5：23毫秒
• 6：0.26 s
• 7：3.1秒
• 8：33秒

一个简单的速度技巧：定义变量“素数”时，将步骤设置为2以自动跳过所有偶数，并将起点设置为1。

然后，您可以进一步优化，而不是用质数i代替，而用质数i代替[：round（len（primes）** 0.5）]。这将大大提高性能。此外，您可以消除以5结尾的数字，以进一步提高速度。

我的实现：

import math
n = 100
marked = {}
for i in range(2, int(math.sqrt(n))):
    if not marked.get(i):
        for x in range(i * i, n, i):
            marked[x] = True

for i in range(2, n):
    if not marked.get(i):
        print i

这是一个内存效率更高的版本（并且：适当的筛子，而不是试验部门）。基本上，不是保留所有数字的数组，而是剔除不是质数的数组，而是保留一组计数器（针对发现的每个质数一个计数器），并在推定的质数之前跳过它们。这样，它使用与素数成正比的存储，而不是与最高素数成正比。

import itertools

def primes():

    class counter:
        def __init__ (this,  n): this.n, this.current,  this.isVirgin = n, n*n,  True
            # isVirgin means it's never been incremented
        def advancePast (this,  n): # return true if the counter advanced
            if this.current > n:
                if this.isVirgin: raise StopIteration # if this is virgin, then so will be all the subsequent counters.  Don't need to iterate further.
                return False
            this.current += this.n # pre: this.current == n; post: this.current > n.
            this.isVirgin = False # when it's gone, it's gone
            return True

    yield 1
    multiples = []
    for n in itertools.count(2):
        isPrime = True
        for p in (m.advancePast(n) for m in multiples):
            if p: isPrime = False
        if isPrime:
            yield n
            multiples.append (counter (n))

您会注意到这primes()是一个生成器，因此您可以将结果保存在列表中，也可以直接使用它们。这是第一个n素数：

import itertools

for k in itertools.islice (primes(),  n):
    print (k)

为了完整起见，这里有一个计时器来衡量性能：

import time

def timer ():
    t,  k = time.process_time(),  10
    for p in primes():
        if p>k:
            print (time.process_time()-t,  " to ",  p,  "\n")
            k *= 10
            if k>100000: return

万一您想知道，我还写primes()了一个简单的迭代器（使用__iter__和__next__），它的运行速度几乎相同。我也很惊讶

由于速度，我更喜欢NumPy。

import numpy as np

# Find all prime numbers using Sieve of Eratosthenes
def get_primes1(n):
    m = int(np.sqrt(n))
    is_prime = np.ones(n, dtype=bool)
    is_prime[:2] = False  # 0 and 1 are not primes

    for i in range(2, m):
        if is_prime[i] == False:
            continue
        is_prime[i*i::i] = False

    return np.nonzero(is_prime)[0]

# Find all prime numbers using brute-force.
def isprime(n):
    ''' Check if integer n is a prime '''
    n = abs(int(n))  # n is a positive integer
    if n < 2:  # 0 and 1 are not primes
        return False
    if n == 2:  # 2 is the only even prime number
        return True
    if not n & 1:  # all other even numbers are not primes
        return False
    # Range starts with 3 and only needs to go up the square root
    # of n for all odd numbers
    for x in range(3, int(n**0.5)+1, 2):
        if n % x == 0:
            return False
    return True

# To apply a function to a numpy array, one have to vectorize the function
def get_primes2(n):
    vectorized_isprime = np.vectorize(isprime)
    a = np.arange(n)
    return a[vectorized_isprime(a)]

检查输出：

n = 100
print(get_primes1(n))
print(get_primes2(n))    
    [ 2  3  5  7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97]
    [ 2  3  5  7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97]

比较Juraster Notebook上Eratosthenes筛的速度和蛮力。Eratosthenes筛子的速度比暴力破解百万元素快539倍。

%timeit get_primes1(1000000)
%timeit get_primes2(1000000)
4.79 ms ± 90.3 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 100 loops each)
2.58 s ± 31.2 ms per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 1 loop each)

我认为必须可以简单地将空列表用作循环的终止条件，并提出了以下建议：

limit = 100
ints = list(range(2, limit))   # Will end up empty

while len(ints) > 0:
    prime = ints[0]
    print prime
    ints.remove(prime)
    i = 2
    multiple = prime * i
    while multiple <= limit:
        if multiple in ints:
            ints.remove(multiple)
        i += 1
        multiple = prime * i

import math
def sieve(n):
    primes = [True]*n
    primes[0] = False
    primes[1] = False
    for i in range(2,int(math.sqrt(n))+1):
            j = i*i
            while j < n:
                    primes[j] = False
                    j = j+i
    return [x for x in range(n) if primes[x] == True]

使用一些 numpy，我可以在2秒多的时间内找到所有低于1亿的素数。

有两个关键功能，应注意

• 切出i仅用于的倍数i达根n
• 的倍数设定i到False使用x[2*i::i] = False比for循环的明确蟒蛇快得多。

这两个可以大大加快您的代码的速度。对于低于一百万的限制，没有可察觉的运行时间。

import numpy as np

def primes(n):
    x = np.ones((n+1,), dtype=np.bool)
    x[0] = False
    x[1] = False
    for i in range(2, int(n**0.5)+1):
        if x[i]:
            x[2*i::i] = False

    primes = np.where(x == True)[0]
    return primes

print(len(primes(100_000_000)))

我能想到的最快的实现：

isprime = [True]*N
isprime[0] = isprime[1] = False
for i in range(4, N, 2):
    isprime[i] = False
for i in range(3, N, 2):
    if isprime[i]:
        for j in range(i*i, N, 2*i):
            isprime[j] = False

我只是想出了这个。它可能不是最快的，但是除了直接添加和比较之外，我没有使用其他任何东西。当然，您在这里停止的是递归限制。

def nondivsby2():
    j = 1
    while True:
        j += 2
        yield j

def nondivsbyk(k, nondivs):
    j = 0
    for i in nondivs:
        while j < i:
            j += k
        if j > i:
            yield i

def primes():
    nd = nondivsby2()
    while True:
        p = next(nd)
        nd = nondivsbyk(p, nd)
        yield p

def main():
    for p in primes():
        print(p)

我认为这是用eratosthenes方法查找素数的最短代码

def prime(r):
    n = range(2,r)
    while len(n)>0:
        yield n[0]
        n = [x for x in n if x not in range(n[0],r,n[0])]


print(list(prime(r)))

不知道我的代码是否有效，有人愿意评论吗？

from math import isqrt

def isPrime(n):
    if n >= 2: # cheating the 2, is 2 even prime?
        for i in range(3, int(n / 2 + 1),2): # dont waste time with even numbers
            if n % i == 0:
                return False
    return True

def primesTo(n): 
    x = [2] if n >= 2 else [] # cheat the only even prime
    if n >= 2:
        for i in range(3, n + 1,2): # dont waste time with even numbers
            if isPrime(i):
                x.append(i)  
    return x

def primes2(n): # trying to do this using set methods and the "Sieve of Eratosthenes"
    base = {2} # again cheating the 2
    base.update(set(range(3, n + 1, 2))) # build the base of odd numbers
    for i in range(3, isqrt(n) + 1, 2): # apply the sieve
        base.difference_update(set(range(2 * i, n + 1 , i)))
    return list(base)

print(primesTo(10000)) # 2 different methods for comparison
print(primes2(10000))

拥有基数的最快方法是：

import sympy
list(sympy.primerange(lower, upper+1))

如果您不需要存储它们，只需使用上面的代码而不转换为即可list。sympy.primerange是生成器，因此不占用内存。