如何紧凑地表示多个量子位状态？

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由于对能够进行量子计算的量子设备的访问仍然极为有限，因此在经典计算机上模拟量子计算是令人感兴趣的。将量子位的状态表示为一个向量需要元素，这极大地限制了人们在这种模拟中可以考虑的量子位的数量。 $n$ $2^n$

在使用比简单矢量表示更少的内存和/或计算能力的意义上，可以使用一种更紧凑的表示¹吗？它是如何工作的？

尽管易于实现，但很明显，矢量表示对于在其矢量表示中表现出稀疏和/或冗余的状态是浪费的。对于一个具体的例子，考虑3量子比特状态。它具有元素，但它们仅假设可能的值，其中大多数元素为。当然，要在模拟量子计算中有用，我们还需要考虑如何表示门以及门在量子位上的作用，并且欢迎您提供一些有关量子位的信息，但我也很高兴听到有关量子位的信息。 $(1/\sqrt{3}, 1/\sqrt{3},0,0,0,-1/\sqrt{3}, 0,0)^T$ $2^3$ $3$ $0$

_{1.请注意，我在问的是表示形式，而不是软件，库或可能使用/表示这种表示形式的文章。如果您提出并解释一种表示形式，非常欢迎您提及已经使用的表示形式。}

quantum-state simulation

— 纪郎
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有很多可能的方式来紧凑地表示一个状态，其有效性在很大程度上取决于上下文。

首先，重要的是要注意，不可能有一个过程可以将任何状态映射为相同状态的更有效表示（出于相同的原因，显然不可能忠实地压缩任何2位字符串作为1位字符串，其映射不依赖于该字符串）。

但是，一旦开始做一些假设，就可以找到更有效的方法来表示给定上下文中的状态。有许多种方法可以做到这一点，所以我只想提到一些：

可以将ket状态的标准向量表示形式视为“压缩表示形式”，它在状态为pure的假设下起作用。确实，您需要真实自由度来表示任意（通常是混合的） -qubit状态，而只需要可以表示纯状态。 $4^n-1$ $n$ $2^{n+1}-2$
如果假设的状态是几乎纯的，即，使得是稀疏在一些表示（等效地，是低秩），然后再次状态可以被有效地表征。对于维系统（对于 -qubit系统，），可以仅使用来忠实地表示，而不是使用〜d参数，其中是国家的稀疏性（请参阅0909.3304及其之后的作品）。 $\rho$ $\rho$ $\rho$ $d$ $d=2^n$ $n$ $d^2$ $\mathcal O(r d \log^2 d)$ $r$
如果您只对有限的数量感兴趣在期望值中，您可以找到大小为的 -qubit状态的压缩表示。注意，这等于指数减少。这在Quant-ph / 0402095中已显示（我认为），但是物理学家可能更容易获得1801.05721中的介绍（以及提出了优化方法方面的改进）。有关许多类似结果，请参见最后一篇论文中的参考文献。 $|S|$ $n$ $\mathcal O(n\log(n)\log(|S|))$
如果您知道状态的纠缠是有限的（在某种意义上可以精确定义），则可以再次根据张量网络找到有效的表示形式（例如，在1708.00006中找到了介绍）。最近，研究还表明，可以使用机器学习启发的ansatze（（1606.02318和许多后续工作）来表示一些著名的哈密顿量的基态。最近也证明/声称它等效于特定的Tensor Network表示。（1710.04045），所以我不确定是否应该将其归类。

请注意，在上述所有内容中，您可以更有效地表示给定状态，但是为了模拟系统的演化，通常需要回到原始的低效率表示形式。如果要通过给定的演化有效地表示状态的动态，则再次需要对演化进行假设，以使其成为可能。在这方面想到的唯一结果就是经典的（如已确定的，而不是“非量子”中的）Gottesman-Knill定理，它可以有效地模拟任何Clifford量子电路。

— 玻璃
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$\newcommand{\ket}[1]{\left|#1\right>}$ 我不确定在这里使用稀疏性是一种好方法：即使单量子位门也可以轻易地将稀疏状态变成密集状态。

但是，如果仅使用Clifford门，则可以使用稳定器形式主义。这是一个简短的概括（表示法）：
单量子Pauli组是，即Pauli矩阵的所有可能乘积（包括）。几个量子位的Pauli组是的张量积空间，。状态的稳定器是所有稳定算子的Pauli组的子组，这意味着 $G_1=\langle X, Y, Z\rangle$ $\mathbb{I}$ $G_1$ $G_n=G_1^{\otimes n}$ $\ket{\psi}$ $\ket{\psi}$ $s \ket{\psi} = \ket{\psi}$ 。重要的是要注意，这仅适用于特定（但重要）的状态。我将在下面给出一个例子。对保利集团成员的限制不是必要的，而是普遍的。稳定器由运算符，，...。稳定器唯一地定义状态，并且是有效的描述：我们可以使用位（有16个元素）来代替复数。当我们应用门，稳定器生成器根据更新 $s_1$ $s_2$ $s_n$ $2^n-1$ $4n^2$ $G_1$ $U$ $s_i \to U^\dagger s_i U$ 。将Pauli运算符映射到Pauli运算符的门称为Clifford门。因此，这些门将不会“弄乱”我们对国家的描述。

图形状态是上述稳定器形式的重要示例。考虑一个（无向的）数学图，它由个顶点和边。每个顶点对应一个量子位。让我们用表示图。图形状态是根据状态，其中通过对连接的每对顶点应用受控相位的门。稳定器由 $n$ $V$ $E\subset V\times V$ $G=(V,E)$ $\ket{+}^{\otimes n}$ $\ket{+}=\frac{1}{\sqrt{2}} (\ket{0}+\ket{1})$ $C_Z$

s_{v} = X_{v} \prod_{\begin{matrix} w \in V \\ (v, w) \in E \end{matrix}} Z_{w} .

$s_v= X_v \prod_{\substack{w\in V\\ (v,w)\in E}} Z_w.$

例如，以两个量子位状态。稳定器是。现在应用门获得。（状态为，它是等效于贝尔状态的局部unit） $\ket{\phi}=\ket{+}\otimes \ket{+}$ $\langle X\otimes \mathbb{I}, \mathbb{I}\otimes X \rangle$ $C_Z$ $\langle X \otimes Z, Z \otimes X \rangle$ $\ket{\phi'}=\frac{1}{2}(1,1,1,-1)^T$

稳定剂形式主义在量子误差校正中也起着重要作用。

— 斯特恩
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在使用比简单矢量表示更少的内存和/或计算能力的意义上，可以使用一种更紧凑的表示吗？它是如何工作的？

来源：“ 多个Qubits ”：

“可以对单个量子位进行简单建模，模拟五十个量子位的量子计算无疑会推高现有超级计算机的极限。仅将计算量增加一个额外的量子位就可以使存储状态所需的内存增加一倍，并且计算时间大约可以增加一倍“计算能力的这种快速翻倍，是为什么量子位数相对较少的量子计算机在某些计算任务上可以远远超过当今，明天甚至更强大的超级计算机的原因。”

所以你不能利用庞氏骗局或抢彼得来付钱给保罗。压缩将以计算复杂性为代价来节省内存，或者在更灵活的空间（更大）中表示会降低计算复杂性，但以内存为代价。本质上，需要功能更强大的硬件或更智能的算法。

以下是一些方法：