模拟哈密顿进化

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我试图弄清楚如何在哈密顿量与量子计算机中作为保利矩阵的张量积写成的项之间的相互作用下，模拟量子位的演化。我在Nielsen和Chuang的书中发现了以下技巧，在这篇文章中将对以下形式的哈密顿量进行解释

H = Z_{1} \otimes Z_{2} \otimes . . . \otimes Z_{n}

$H = Z_1 \otimes Z_2 \otimes ... \otimes Z_n$ 。

但是，没有详细解释如何用包含Pauli矩阵 $X$ 或 $Y$ 项对哈密顿量进行模拟。我明白，你可以考虑把这些泡利成个Z是 $HZH = X$ ，其中 $H$ 是阿达马门也 $S^{\dagger}HZHS =Y$ 其中 $S$ 是相 $i$ 门。我究竟是如何使用它来实现，例如

H = X \otimes Y

$H= X \otimes Y$

如果现在哈密顿量包含Pauli矩阵的项之和怎么办？例如

H = X_{1} \otimes Y_{2} + Z_{2} \otimes Y_{3}

$H = X_1 \otimes Y_2 + Z_2 \otimes Y_3$

hamiltonian-simulation nielsen-and-chuang pauli-gates

— 帕姆
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假设您具有形式的哈密顿量。有一个简单的电路构造可让您实现其时间演化。诀窍基本上是分解您正在演变为的本征空间中的组件的状态。然后，将相位 -it应用于本征空间，并将相位 -it应用于本征空间。接下来的电路完成该工作（并最终计算出分解结果）。我假设中间的相门元件要应用the

H = σ_{1} \otimes σ_{2} \otimes σ_{2} \otimes \dots \otimes σ_{n}

$H=\sigma_1\otimes\sigma_2\otimes\sigma_2\otimes\ldots\otimes\sigma_n$

e^{- i H t}

$e^{-iHt}$

\pm 1

$\pm 1$

H

$H$

e^{- i t}

$e^{-it}$

+ 1

$+1$

e^{- i t}

$e^{-it}$

- 1

$-1$

(\begin{array}{cc} e^{i t} & 0 \\ 0 & e^{- i t} \end{array}) .

$\left(\begin{array}{cc} e^{it} & 0 \\ 0 & e^{-it} \end{array}\right).$

通常，如果要演化某些哈密顿量，其中和具有以前的形式，那么到目前为止，最简单的方法是将演化分解为对于一些大的（尽管有些算法具有更好的缩放性能），并且每个小步骤都可以是用先前的电路实现。 $H=H_1+H_2$ $H_1$ $H_2$

e^{- i H t} \approx {(e^{- i H_{1} t / M} e^{- i H_{2} t / M})}^{M}

$e^{-iHt}\approx \left(e^{-iH_1t/M}e^{-iH_2t/M}\right)^M$

M

$M$

e^{- i H_{1} t / M}

$e^{-iH_1t/M}$

就是说，有时候您可以做一些更聪明的事情。您的额外示例就是这样一种情况。我会开始由应用整体旋转到量子位2和3这是相当于哈达玛栅极，但转换成代替。现在停下来思考一下。如果第2位和第3位在00中，则对第1位应用。对于01，为，对于10为，对于11为

H = X \otimes Y \otimes I + Z \otimes I \otimes Y

$H=X\otimes Y\otimes\mathbb{I}+Z\otimes\mathbb{I}\otimes Y$

U = \frac{Z + Y}{\sqrt{2}}

$U=\frac{Z+Y}{\sqrt{2}}$

Y

$Y$

Z

$Z$

X

$X$

(X + Z)

$(X+Z)$

(X - Z)

$(X-Z)$

(Z - X)

$(Z-X)$

- (X + Z)

$-(X+Z)$ 。接下来，让我们将受控而不是从qubit 2应用于qubit3。这只是对基本元素进行了一些置换。现在说，如果量子位2和3处于状态，则必须将汉密尔顿应用于量子位1的状态。接下来，记住（哈达玛，而不是哈密顿量），并且。因此，这为我们提供了一种在汉密尔顿式两位之间进行转换的简便方法。我们将用qubit 3受控的nots 替换这两个类似地，我们可以使用电路标识，这次我们用qubit 2受控的nots 替换

(- 1)^{x_{2}} (X + (- 1)^{x_{3}} Z)

$(-1)^{x_2}(X+(-1)^{x_3}Z)$

x_{2} x_{3}

$x_2x_3$

X + Z = \sqrt{2} H

$X+Z=\sqrt{2}H$

X \sqrt{2} H X = X - Z

$X\sqrt{2}HX=X-Z$

X

$X$

X

$X$

总的来说，我认为模拟看起来可能看起来很复杂，但是没有任何拆分成很小的时间步长，随着时间的流逝，这些步长会累积错误。它不会经常应用，但是值得意识到这些可能性。

— 达夫·沃利
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带点的平方根因子是什么意思-门？

— Enrique Segura

@EnriqueSegura与您刚刚询问的另一个完全相同：带有标记的旋转角度的相位门。

— DaftWullie

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诀窍是，如果我们有一个对角线为的哈密顿量，则。 $H$ $H=UDU^\dagger$ $e^{it H} = U e^{it D} U^\dagger$

特别是，如果您的哈密顿量是Pauli（为了简单起见，我们假设代表所有），则可以将斜对化为 $H = \sigma_1\otimes\cdots\otimes \sigma_n$ $\sigma_i \neq I$ $i$ $H$

H = (σ_{1}^{'} \otimes \dots \otimes σ_{n}^{'}) Z \otimes \cdot \otimes Z (σ_{1}^{'} \otimes \dots \otimes σ_{n}^{'})

$H = (\sigma'_1\otimes\cdots\otimes \sigma'_n) Z\otimes\cdot\otimes Z (\sigma'_1\otimes\cdots\otimes \sigma'_n)$

结果是：

e^{i t H} = (σ_{1}^{'} \otimes \dots \otimes σ_{n}^{'}) e^{i t Z \otimes \cdot \otimes Z} (σ_{1}^{'} \otimes \dots \otimes σ_{n}^{'})

$e^{it H} = (\sigma'_1\otimes\cdots\otimes \sigma'_n) e^{it Z\otimes\cdot\otimes Z} (\sigma'_1\otimes\cdots\otimes \sigma'_n)$

由于Pauli矩阵很容易在量子计算机上实现，并且我们已经知道如何进行，因此可以完成。 $e^{it Z\otimes Z}$

如果哈密顿量是保利乘积的总和，则没有通用的简单解，但是您可以使用截断为大量项的李乘积公式来将其简化为上述问题。

— 约翰
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通常，这个问题不是很简单，最终归结为采用哈密顿量，并以某种方式形成实现的门的适当顺序。据我了解，这通常是通过使用Trotter-Suzuki逼近和门分解来实现的。 $e^{-\Delta t H}$

— 乔治
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