我可以使用显式的时间步进方案来数字确定ODE是否僵硬吗？

我有一个ODE：

u （0 ）= − $u'=-1000u+sin(t)$
$u(0)=-\frac{1}{1000001}$

从分析上我知道这个特殊的ODE是僵硬的。我还知道，如果我们使用显式（正向）时间步进方法（Euler，Runge-Kutta，Adams等），则如果时间步长太大，则该方法应返回非常大的错误。因此，我有两个问题：

1. 通常，当错误项的解析表达式不可用或不可推导时，这将如何确定刚性ODE？

2. 通常，当ODE僵硬时，如何确定“足够小的”时间步长？

要回答您的问题：

1. 据我所知，在实践中，如果显式方法相对于您所关注的时间尺度需要非常小的时间步长（有关ODE变硬的含义，请参见此问题的答案），以便得出准确的结果，则对于所有意图和目的，您的问题就很棘手。要确定对步长的要求，请使用专家编写的众多库之一（MATLAB套件是一个示例，还有SUNDIALS，VODE，DASPK，DASSL，LSODE等），这些库具有自适应的时间步长启发式方法。SUNDIALS手册介绍了决策规则，这些决策规则用于确定打包所需时间的大小，并为您提供实际使用的规则示例。

2. 再一次，我会在实践中使用具有自适应时间步长的库，因为这样做会更有效。但是，如果您自己使用固定步长编码一种方法，或者发现较大的波动，或者解决方案“膨胀”，则可能会怀疑您的时间步长太大并减少了时间步长。重复进行，直到获得行为合理的数值解。诸如Ascher和Petzold以及Hairer和Wanner这样的教科书就很好地说明了这种现象。

观察它的更好方法是，对于一个刚性问题，任何稳定的显式计算所导致的误差都比所需的误差容限小得多。

有许多使用显式方案自动检测刚度的好方法，尤其是嵌入式Runge-Kutta对。参见例如：

• 用Fehlberg（4，5）公式检测刚度
• 用显式Runge-Kutta方法检测和估计主频谱的刚度
• 显式Runge Kutta方法的刚度检测策略

在faleichik的第二个示例中，随着步长的减小，当超过稳定的时间步长阈值时，误差会急剧下降到远远低于典型所需公差的水平。因此，一个好的误差估计器确实可以揭示问题的严重性。在第一个问题中，以稳定步长获得的误差将在典型的所需公差范围内，这表明没有刚度。

因此请注意，如果需要足够严格的容错能力，那么任何问题都不会变得僵硬。

1.是否可以仅通过使用显式方法以数值方式检测刚度？

• $[0,10]$$\tau=1$ $\tau$

  

  $\tau=0.1$

  $\tau=0.1$$[0,10]^\star$

  那么，问题是否严峻？答案是否定的！为了正确地再现溶液的振荡，这里需要小的步长。

  $$y'(t)=-2\cos \pi t,\quad y(0)=1.$$

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• $\tau=1$

  

  $\tau=0.1$

  

  $\tau=0.1$$[0,10]^\star$

  这个问题僵硬吗？是的！我们已经采取了非常小的步骤来重现变化非常缓慢的解决方案。这是不合理的！在此，时间步幅的大小受显式Euler稳定性的限制。

  这个问题是

  $$y'(t)=-2 y(t)+\sin t/2,\quad y(0)=1.$$

---

$^\star$

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结论：有关时间步长和相应误差的信息不足以检测刚度。您还应该查看获得的解决方案。如果变化缓慢且步长很小，则问题很可能会变得很棘手。如果解决方案振荡很快，并且您相信自己的错误估计技术，那么这个问题就不会很棘手。

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2.如何确定允许将刚性问题与显式方法集成的最大步长？

如果您使用带有自动步进控制功能的黑盒显式求解器，则无需执行任何操作：该软件将自适应地采用所需的步进大小。

$[\Lambda,0]$$\Lambda=-1000$

$[-2,0]$$\tau$$\Lambda\tau$

$$\tau\leq \frac{2}{|\Lambda|}.$$

$$\tau\leq \frac{1}{|\Lambda|},$$ $1/|\Lambda|<\tau \leq 2/|\Lambda|$

当然，这种分析最适用于已知频谱的线性问题。对于更实际的问题，我们应该依靠刚度检测的数值方法（请参阅其他答案中的参考资料和评论）。