在实践中，如何确定大型线性系统的迭代方法是收敛的？

在计算科学中，我们经常遇到大型线性系统，我们需要通过某些（有效的）手段（例如，直接方法或迭代方法）对其进行求解。如果我们专注于后者，那么在实践中如何确定求解大型线性系统的迭代方法是收敛的？

显然，我们可以进行反复试验分析（请参阅为什么我的迭代线性求解器不收敛？），并依靠可以通过证明保证收敛或具有良好经验基础的迭代方法（例如CG和GMRES等Krylov子空间方法）分别用于对称和非对称系统）。

但是，在实践中如何建立融合？怎么办？

对于自然界中出现的许多偏微分方程，特别是具有强非线性或各向异性的偏微分方程，选择合适的预处理器会对迭代方法收敛迅速，收敛缓慢或根本不收敛产生重大影响。已知具有快速有效的预处理器的问题示例包括强椭圆偏微分方程，其中多重网格方法经常实现快速收敛。有很多测试可以用来评估收敛性。在这里，我将以PETSc中的功能为例，因为它可以说是最古老，最成熟的库，用于迭代求解线性（和非线性方程）的稀疏系统。

PETSc使用一个称为KSPMonitor的对象来监视迭代求解器的进度，并确定该求解器是否收敛或发散。监控器使用四个不同的标准来决定是否暂停。有关此处讨论的更多详细信息，请参见KSPGetConvergedReason（）的手册页。

$x$

1. $\left(P^{-1}(Ax − b) \right)$

   $$\hat{r}=P^{-1}(A\hat{x}-b)$$

2. $\left(AP^{-1}Px = b \right)$

   $$\hat{r}=A\hat{x}-b$$

收敛准则

1. $a_{tol}$ $$\|\hat{r}\| \le a_{tol}$$
2. $r_{tol}$ $$\|\hat{r}\| \le r_{tol}\cdot \|b\|$$
3. 其他条件 -由于检测到较小的步长或负曲率，迭代求解也可以收敛。

发散标准

1. 最大迭代次数-求解器可以进行的迭代次数以最大迭代次数为上限。如果达到最大迭代次数时未满足其他任何条件，则监视器将返回分歧。

2. 残差NaN-如果残差在任何时候都等于NaN，则求解器将返回偏差。

3. $d_{tol}$

   $$\|\hat{r}\| \ge d_{tol}\cdot \|b\|$$

4. 求解器分解如果Krylov方法检测到奇异矩阵或前置条件，则它本身可以发出发散信号。