在C / C ++中寻找Runge-Kutta八阶

我想在使用Windows机器以C ++编写的天体力学/天体动力学应用程序中使用Runge-Kutta 8阶方法（89）。因此，我想知道是否有人知道有文档记录且可以免费使用的好的库/实现？只要用C编写就可以了，只要不存在任何编译问题即可。

到目前为止，我已经找到了这个库（mymathlib）。该代码似乎还可以，但是我还没有找到有关许可的任何信息。

您能通过揭示一些您可能知道并且适合我的问题的替代方法来帮助我吗？

编辑：
我看到确实没有像我期望的那样有太多的C / C ++源代码。因此，Matlab / Octave版本也可以（仍然必须免费使用）。

这两个GNU科学图书馆（GSL）（C）和升压Odeint（C ++）功能，8阶龙格-库塔法。

两者都是开源的，在linux和mac下，它们应该可以直接从软件包管理器中获得。在Windows下，使用Boost而不是GSL可能会更容易。

GSL在GPL许可下发布，Boost Odeint在Boost许可下发布。

编辑：好，升压Odeint没有龙格-库塔89的方法，只有78，但它确实提供了一个配方制作任意龙格-库塔步进。

八阶方法相当高，最有可能对您的问题造成过大杀伤力。

Prince-Dormand是特定类型的Runge-Kutta，与顺序没有直接关系，但最常见的是45。Matlabs ode45是其推荐的ODE算法，是Prince-Dormand 45的实现。这与Boost Odeint Runge_Kutta_Dopri5中实现的算法相同。

如果您要长时间进行天体力学，那么使用经典的Runge-Kutta积分器将无法节省能量。在那种情况下，使用辛积分器可能会更好。Boost.odeint还实现了4阶辛格Runge-Kutta方案，该方案在较长的时间间隔内效果更好。据我所知，GSL没有实现任何辛方法。

总结几点：

1. 如果它是对非耗散模型的长期集成，那么您正在寻找辛格积分器。
2. 否则，由于它是运动方程，因此Runge-Kutta Nystrom方法将比转换为一阶系统更有效。由于DP，存在高阶RKN方法。有一些实现，如在这里朱莉娅他们记录和这里是一个MATLAB一个。
3. 仅当您需要高精度解决方案时，才需要高阶Runge-Kutta方法。如果公差较低，则五阶RK可能会更快（对于相同的误差）。如果您需要经常解决这个问题，那么最好的办法就是测试一堆不同的方法。在这组关于三体问题的基准测试中，我们看到（对于相同的错误）高阶RK方法只是速度的边际改进，尽管当错误-> 0时，您可以看到对Dormand的改进已经超过了5倍-Prince 45（DP5），如果您要查看4位数的精度（尽管公差为此低得多。公差在任何问题上都是一个标准）。随着公差的降低，从高阶RK方法获得的改进会越来越小，但您可能需要开始使用更高的精度数字。
4. Dormand-Prince阶7/8算法与Hairer dop853和DifferentialEquations.jl的DP853方法DP8（相同）具有不同的8阶表。后者853方法无法在Runge-Kutta方法的标准表格版本中实现，因为它的误差估算器是非标准的。但是这种方法效率更高，即使使用较旧的Fehlberg 7/8或DP 7/8方法，我也不推荐使用。
5. 对于高阶RK方法，Verner的“有效”方法是黄金标准。这显示在我链接的基准中。您可以自己编写这些代码到Boost中，或者如果需要，可以使用实现它们的2个软件包之一（Mathematica或DifferentialEquations.jl）。

我想补充一点，尽管Geoff Oxberry建议进行长期积分（使用辛积分器）是正确的，但在某些情况下它是行不通的。更具体地说，如果您具有耗散力，您的系统将不再保留能量，因此在这种情况下您将无法求助于辛格积分器。问这个问题的人是在谈论低地球轨道，而这些轨道表现出大量的大气阻力，这是一种耗散的力量，因此无法使用这种辛格积分器。

在这种特定情况下（对于无法使用/无法访问/不想使用辛积分器的情况），如果您需要长时间的精度和效率，我建议使用Bulirsch-Stoer积分器。根据经验，它可以很好地工作，并且在《数字食谱》中也推荐使用（Press等，2007）。