为什么固定点以删除空空间不好？

具有所有Neumann边界条件的Poisson方程具有单个恒定维的零空间。通过Krylov方法求解时，可以通过在每次迭代中减去解的平均值或固定单个顶点的值来删除零空间。

固定单个顶点具有简化的好处，并且还避免了每个投影的额外全局缩减。但是，由于其对调节的影响，通常将其视为不良。因此，我总是减去均值。

但是，这两种方法之间的差异最多为2级校正，因此根据（1），它们应该以几乎相同的迭代次数收敛（至少在精确的算术中）。这个推理是正确的，还是还有其他原因导致点固定不好（也许算术不精确）？

（1）：低秩修改如何影响Krylov方法的收敛性？

您的论点自然适用于无条件的情况。我不建议固定的原因是它混淆了规范和预处理。如果知道典型对角线值的大小，则可以缩放固定节点的平凡方程，以使范式再次变得合理。

要查看预处理的结果，我们必须区分执行固定的不同方法。我认为其中两个最受欢迎。

1. 如果固定是通过“将行归零”（将行设置为等于标识的可缩放行）来实现的，则它会引入不对称性，从而限制了Krylov方法的选择，并可能混淆前置条件（例如使代数多重网格选择较差的聚合）。
2. 如果相应的列也被清零（贡献“提升”到右侧），则效果很好。

请注意，可能必须调整多网格的插值运算符，以在每个级别上以兼容的方式进行固定。如果您不介意通过良好的缩放实现固定会引入复杂性，那么这是一种很好的方法。在大多数情况下，我们发现以无中断方式实现固定比提供近乎为零的空间更具侵入性，并且更容易出错。通过使用原始（奇异）矩阵，求解器库还可以验证提供的空空间确实是空空间，从而防止出现常见错误。