是否有办法仅通过了解离散系统阶跃函数的响应来获得离散系统的冲激响应？

在连续的时间内，这是可能的；

$$u(t){\longrightarrow} \boxed{\quad\textrm{system}\quad} {\longrightarrow} y(t)\implies \delta(t)=\frac{du(t)}{dt}{\longrightarrow}\boxed{\quad\textrm{system}\quad}{\longrightarrow} \frac{dy(t)}{dt}=h(t)$$

离散时间系统是否也是如此，即

$$\delta[t]=\frac{du[t]}{dt} \quad\textrm{where:}\begin{cases} \delta[t] &\textrm{is the discrete time delta}\\ u[t] & \textrm{is the discrete time unit step function}\end{cases}$$

是否仅通过了解离散单位阶跃的响应就可以获得离散系统的脉冲响应？

声子答案的一个简单版本如下。

假设表示系统对单位阶跃函数的响应。然后，如该答案所述， 通常，是冲激响应的缩放副本和延时副本的总和，在这种情况下，不需要缩放；只有时间延迟。因此， ，其中每个右边的列是（无标度和）时间延迟的脉冲响应。因此，我们很容易得到 $y$ $y$

$$\begin{align} y[0] &= h[0]\\ y[1] &= h[1] + h[0]\\ y[2] &= h[2] + h[1] + h[0]\\ y[3] &= h[3] + h[2] + h[1] + h[0]\\ \vdots~ &= ~\vdots \end{align}$$ $$\begin{align} h[0] &= y[0]\\ h[1] &= y[1]-y[0]\\ h[2] &= y[2]-y[1]\\ \vdots~ &= ~\vdots\\ h[n] &~= y[n] - y[n-1]\\ \vdots~ &= ~\vdots \end{align}$$ 仅提到了滤波器，逆，卷积，积分，运算符等，这只是线性时不变系统定义的简单结果。

是的，在离散系统中也是如此。在这种情况下，微分运算被一阶差分代替。它不认为它具有通用符号，但我们称其为。此操作等效于使用过滤信号。我们将此过滤器称为。我将表示卷积符号。$D(\cdot)$$y[n] = x[n] - x[n-1]$$d[n]$$*$

现在，将关于卷积的知识应用于此运算符。我们知道，我们 在上得到一个具有运行总和（离散积分器）的。实际上，由表示的系统本身就是这种离散积分器。还要注意，这两个运算符彼此相反，尤其是。$u[n]$$\delta[n]$$u[n]$$u[n] * d[n] = \delta[n]$

现在，我们知道卷积是可交换的，即

$$a[n]*b[n] = b[n]*a[n]$$

和关联，即

$$\left(a[n] * b[n]\right) * c[n] = a[n] * \left(b[n] * c[n]\right)$$

因此，

$$x[n] = \delta[n] * x[n] = u[n] * d[n] * x[n] = d[n] * u[n] * x[n] = d[n] * \left(u[n] * x[n]\right)$$

因此，您可以看到，您可以通过应用一阶差分来从恢复，就像在连续情况下一样。$x[n]$$\left(u[n] * x[n]\right)$

假设：

• 连续时域：令 -脉冲响应，而 -阶跃响应$h(t)$$s(t)$
• 离散时域：令 -单位脉冲响应，而 -单位阶跃响应$h[n]$$s[n]$

直观地讲，连续时域中的积分等效于离散时域中的求和。类似地，连续时域中的导数等效于离散域中的有限差分。

通过这种直观的理解，考虑和之间的关系（帖子中第二个等式的左侧）：$u$$\delta$

• 连续时域： $u(t) = \int \delta(t)$
• 离散时域： $u[n] = \sum_{k=0}^{\infty} \delta[n-k]$

同样，考虑和之间关系（帖子中第二个方程的右侧）：$s$$h$

• 连续时域： $s(t) = \int h(t)$
• 离散时域： $s[n] = \sum_{k=0}^{\infty} h[n-k]$

现在，如果您仔细查看最后一个方程：

$$s[n] = \sum_{k=0}^{\infty}h[n-k]$$

现在，可以使用具有延迟形式的，即的有限差分，从该方程中找到：$h[n]$$s[n]$$s[n-1]$

$$h[n] = s[n] - s[n-1]$$