遍历和固定式有什么区别？

我很难区分这两个概念。到目前为止，这是我的理解。

平稳过程是一种随机过程，其统计属性不会随时间变化。对于严格意义上的平稳过程，这意味着其联合概率分布是恒定的。对于广义的平稳过程，这意味着其第一和第二力矩是恒定的。

遍历过程是可以从足够长的样本中推导出其统计属性（如方差）的过程。例如，如果平均时间足够长，则样本均值会收敛到信号的真实均值。

现在，在我看来，信号必须是固定的，才能遍历。

• 什么样的信号可能是固定的，但不是遍历的？
• 例如，如果一个信号在所有时间内都具有相同的方差，那么时间平均方差如何不收敛到真实值？
• 那么，这两个概念的真正区别是什么？
• 您能举一个平稳的过程而不是遍历的过程，还是遍历的过程而不是静止的示例？

随机过程是随机变量的集合，所考虑的每个瞬时都包含一个随机变量。通常，这可以是连续时间（）或离散时间（所有整数或所有时刻，其中为采样间隔）。 $-\infty < t < \infty$$n$$nT$$T$

• 平稳性是指随机变量的分布。具体而言，在平稳过程中，所有随机变量具有相同的分布函数，更一般地，对于每个正整数和瞬时时刻，随机变量的联合分布）与的联合分布相同。也就是说，如果我们将所有时刻都移动，则该过程的统计描述完全不会改变：该过程是固定的$n$$n$$t_1, t_2, \ldots, t_n$ n X （t 1），X （t 2），⋯ ，X （t n）X （t 1 + τ ），X （t 2 + τ ），⋯ ，X （t n + τ ）τ$n$$X(t_1), X(t_2), \cdots, X(t_n)$$X(t_1+\tau), X(t_2+\tau), \cdots, X(t_n+\tau)$$\tau$。
• 另一方面，遍历性不关注随机变量的统计属性，而是关注样本路径，即您实际观察到的内容。回到随机变量，回想一下随机变量是从样本空间到实数的映射。每个结果都映射到一个实数，并且不同的随机变量通常会将任何给定的结果映射到不同的数。因此，假设在执行实验的过程中出现了一些更高的结果，导致样本空间中的结果，并且该结果已被过程中的所有随机变量映射到（通常是不同的）实数上：变量已映射$\omega$$X(t)$$\omega$到实数，我们将表示为。视为波形的数字是对应于的样本路径，并且不同的结果将提供不同的样本路径。然后，遍历性处理样本路径的属性以及这些属性与构成随机过程的随机变量的属性之间的关系。$x(t)$X （吨）ω $x(t)$$\omega$

现在，对于来自平稳过程的样本路径，我们可以计算时间平均 但是，这是什么都与中，平均的随机过程的？（请注意，我们使用值并不重要；所有随机变量具有相同的分布，因此具有相同的均值（如果均值存在））。作为OP说，平均值或样本路径会聚到过程的平均值如果观察到足够长的样品路径的直流分量，提供的方法是遍历$x(t)$ˉ X = 1

$$\bar{x} = \frac{1}{2T} \int_{-T}^T x(t) \,\mathrm dt$$ $\bar{x}$$\mu = E[X(t)]$$t$也就是说，遍历性使我们能够将两个计算的结果联系起来并断言 等于 拥有这种等式的过程称为均等遍历，并且如果其自协方差函数具有以下属性，则该过程为遍历： $$\lim_{T\to \infty}\bar{x} = \lim_{T\to \infty}\frac{1}{2T} \int_{-T}^T x(t) \,\mathrm dt$$
$$\mu = E[X(t)] = \int_{-\infty}^\infty uf_X(u) \,\mathrm du.$$ $C_X(\tau)$ $$\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^T C_X(\tau) \mathrm d\tau = 0.$$

因此，并非所有平稳过程都需要遍历遍历。但是，还有其他形式的遍历性。例如，对于一个自协方差-遍历过程中，一个有限段的自协方差函数（说为样品路径的收敛到自协方差函数过程的如。笼统地说，一个过程是遍历遍历的，可能意味着各种形式中的任何一种，或者可能意味着一种特定的形式；只是说不清，$t\in (-T, T)$$x(t)$$C_X(\tau)$$T\to \infty$

因为这两个概念之间的差异的一个例子，假设为所有下考虑。在这里，是一个随机变量。这是一个平稳的过程：每个具有相同的分布（即的分布），相同的均值 ，相同的方差等；每个和具有相同的联合分布（尽管是简并的），依此类推。但是这个过程不是 遍历遍历的，因为每个采样路径都是一个常数。具体来说，如果试验结果（由您或上级执行）$X(t) = Y$$t$$Y$$X(t)$$Y$$E[X(t)] = E[Y]$$X(t_1)$$X(t_2)$$Y$值为，则与该实验结果相对应的随机过程的样本路径对于所有都具有值，并且样本路径的DC值为，而不是，无论您观察（相当无聊）采样路径多长时间。在并行Universe中，该试验将得出并且该Universe中的样本路径对所有均具有值。编写数学规范以将这些琐碎性从固定过程的类别中排除并不容易，因此，这是一个非遍历的固定随机过程的极小示例。$\alpha$$\alpha$$t$$\alpha$$E[X(t)] = E[Y]$$Y = \beta$$\beta$$t$

能有一个随机的过程，是不是静止的，但是是遍历？好吧，N0，不是说遍历遍历是指人们可以想到的所有可能的遍历遍历：例如，如果我们测量一段较长的采样路径最多具有值的时间比例，这是一个很好的估计，则（共同）的值CDF的的的在如果过程asumeed到在分配功能上是遍历的。 但是，我们可以有随机过程$x(t)$$\alpha$$P(X(t) \leq \alpha) = F_X(\alpha)$$F_X$$X(t)$$\alpha$虽然不是平稳的，但仍然是均等遍历和自协方差遍历。例如，考虑过程 ，其中具有四个相等的可能值和。请注意，每个是一个离散随机变量，通常具有四个相等的可能值和，很容易看出一般和$\{X(t)\colon X(t)= \cos (t + \Theta), -\infty < t < \infty\}$$\Theta$$0, \pi/2, \pi$$3\pi/2$$X(t)$$\cos(t), \cos(t+\pi/2)=-\sin(t), \cos(t+\pi) = -\cos(t)$$\cos(t+3\pi/2)=\sin(t)$$X(t)$$X(s)$具有不同的分布，因此该过程甚至不是一阶平稳的。另一方面， 对于每个而 简而言之，该过程的均值为零，其自相关（和自协方差）函数仅取决于时间差，因此该过程为

$$E[X(t)] = \frac 14\cos(t)+ \frac 14(-\sin(t)) + \frac 14(-\cos(t))+\frac 14 \sin(t) = 0$$ $t$ $$\begin{align} E[X(t)X(s)]&= \left.\left.\frac 14\right[\cos(t)\cos(s) + (-\cos(t))(-\cos(s)) + \sin(t)\sin(s) + (-\sin(t))(-\sin(s))\right]\\ &= \left.\left.\frac 12\right[\cos(t)\cos(s) + \sin(t)\sin(s)\right]\\ &= \frac 12 \cos(t-s). \end{align}$$ $t-s$广义上是固定的。但是它不是一阶平稳的，因此也不能对更高阶平稳。现在，当执行实验并知道的值时，我们得到的样本函数显然必须是和，其DC值等于，并且其自相关函数为，与，因此此过程是遍历和自相关遍历的，即使它根本不是固定的。最后，我说关于分配函数，这个过程不是遍历的$\Theta$$\pm \cos(t)$$\pm \sin(t)$$0$$0$$\frac 12 \cos(\tau)$$R_X(\tau)$也就是说，不能说它在所有方面都是遍历遍历的。

让我们考虑一个假设的随机过程，其中样本函数是DC值并且彼此不同：

X ₁（t）=常数= X ₁（t）的平均值

X ₂（t）=常数= X ₂（t）的平均值

和的时间平均值是恒定的，但不相等。如果我的过程是平稳的和相等且RVs（请参阅Dilip的答案）$X_1(t)$$X_2(t)$$X(t_1)$$X(t_2)$

因此，集合均值是恒定的。$X(t)$

这个整体平均值肯定不等于和的时间平均值（它们本身不相等）。这可以称为平稳过程而不是遍历过程。$X_1(t)$$X_2(t)$

相反，其中是RV是遍历的。$X(t)=Acos(\omega t+\theta)$$\theta$

我希望这段视频（来自佛罗里达理工学院。视频由Ivica Kostanic博士在“传播理论”课上播出，标题为“什么是宽泛的，严格的意义，遍历信号”，从16:55开始）可以消除您的疑问

遍历过程是可以用遍历平均值代替时间平均值的过程。

实际的均值，方差等...是通过随时间推移进行处理并求平均值等来定义的。例如，如果您想知道我的尺寸的均值，则必须从我出生时就对其求平均直到我死 显然，后面的示例不是固定过程。

遍历均值是，如果您不固定时间来跟踪我的身高，而是冻结时间，并将均值取自不同个体的样本。这两种方法没有相同的理由，因此我的工作规模并非遍历整个世界。

这是一个不好的例子，但是如果考虑气体处于平衡状态的简单情况，它将变得更加重要。例如，均方速度记为（随时间变化的平均值），但通常是通过采用集合均值：瞬间的气体。$\bar{V^2}$$\left< V^2 \right>$$t$

大多数热力学定理要求使用 ，但是计算和使用更容易。遍历假说是指出用另一种替换是正确的假设。遍历过程是遍历假设为真的过程。$\bar{V^2}$$\left< V^2 \right>$

在一般情况下，遍历假说是错误的。

对于相反情况的示例（即，遍历但不平稳的随机过程），请考虑由确定性方波进行幅度调制的白噪声过程。每个样本函数的时间平均值等于零，所有时间的总体平均值也等于零。因此，该过程是遍历遍历的。但是，任何单个样本函数的方差都显示出原始方波对时间的依赖性，因此该过程不是平稳的。

这个特定的例子是广义的平稳的，但是可以编造相关的例子，这些例子仍然是遍历的，甚至不是广义的平稳的。

正如我所理解的，下面的示例显示了遍历和平稳的过程

 X1 X2 X3  | mean var ...
 1  2  3   | 2    1
 2  3  1   | 2
 3  1  2   | 2
 ----------

均值2 2 2 var 1

因为每列的均值和方差在时间上是恒定的，而每行的均值和方差在时间上是恒定的