复杂的指数是LTI系统的唯一本征函数吗？

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有没有一个不是复杂指数的线性时不变（LTI）系统本征函数的示例？贾斯汀· 隆伯格（Justin Romberg）的LTI系统特征函数表示确实存在这样的特征函数，但是我找不到。

linear-systems theory eigendecomposition

— 维诺德
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LTI系统的所有本征函数都可以用复指数来描述，而复指数构成了信号空间的完整基础。但是，如果您的系统是degenerate，则意味着您的特征子空间的维度> 1，则对应于特征值的特征向量都是来自子空间的向量的线性组合。不同频率的复指数的线性组合不再是复指数。

非常简单的示例：作为LTI系统的身份运算符1具有整个信号空间，其特征值为1，这表示所有函数都是特征函数。

— 爵士乐
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当然除了null函数之外：)只是在开玩笑

— Laurent Duval

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就我所知，对于任何任意的LTI系统，复指数都是唯一已知的本征信号。另一方面，考虑理想的LPF。所述功能：可以很容易地被看作是本征的信号。这表明存在LTI系统（例如理想LPF），该系统具有除复杂指数以外的信号作为特征信号（在这种情况下为）。 $\operatorname{sinc}$

sinc (t) ≜ \frac{\sin (π t)}{π t}

$\operatorname{sinc}(t) \triangleq \frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$

\frac{\sin (π t)}{π t}

$\frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$

— 企业社会责任
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相反，情况恰恰相反：规则是LTI系统确实具有退化的本征子空间，因此本征向量不是复杂的指数。考虑具有真实输出的系统。那么，这意味着如果是实数而，那么您已经有一个二维本征子空间，而实际正弦就是一个本征向量。这意味着任何LTI系统，其具有成为倍数的相位响应为符合条件。那是规则，而不是例外。

H (ω) = H^{*} (- ω)

$H(\omega)=H^*(-\omega)$

H (ω)

$H(\omega)$

ω \neq 0

$\omega\neq 0$

π

$\pi$

ω \neq 0

$\omega\neq 0$

— Jazzmaniac

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实际上，任何纯指数都是LTI系统的本征函数。如果您不介意处理迅速接近数量，则理论上没有要求指数是复杂的或实数的。

\infty

$\infty$

— 罗伯特·布里斯托

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我知道我编辑了您的答案（以使其在语义上更加清晰和正确），但您的答案是错误的。是不一般的特征函数，以一般的线性时不变系统。对于具有特定LTI，它是本征函数，而对于其他LTI 则不是本征函数。

sinc (t) ≜ \frac{\sin (π t)}{π t}

$\operatorname{sinc}(t) \triangleq \frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$

H (f) = 1 \forall | f | < \frac{1}{2}

$H(f)=1 \quad \forall |f|<\frac{1}{2}$

— 罗伯特·布里斯托

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显然，“如果您不介意处理迅速接近∞的量”，则不同于“通常被认为是...平方可积函数的希尔伯特空间的信号空间”。 我的意思是，如果是您的输入，则是您的输出（其中是拉普拉斯LTI脉冲响应变换）。在我看来像本征函数。但是您对CSR的规范是正确的。

x (t) = e^{s t}

$x(t) = e^{st}$

y (t) = H (s) \cdot x (t)

$y(t) = H(s) \cdot x(t)$

H (s)

$H(s)$

h (t)

$h(t)$

— 罗伯特·布里斯托

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@ Fat32，要求行为良好的函数空间与稳定性无关，它离不必要的或随意的很远。信号处理理论中的大多数有用结果都依赖于行为良好的信号空间。谱定理（en.wikipedia.org/wiki/Spectral_theorem）特别有用，该定理需要某些函数空间，其中是一个可能的选择。如果您想应用此数学框架（并且想要信任我），那么您将无法接受提议作为特征信号的信号。

L^{2}

$L^2$

— Jazzmaniac

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我以为我的回答说得很清楚-显然不是:-)。最初的问题是：“除了LTI系统的复杂指数以外，还有本征信号吗？”。答案是，如果给定一个事实，即系统是LTI，但没有其他已知信息，则唯一确认的信号是复数指数。在特定情况下，系统也可能具有其他特征信号。我给出的示例是理想的LPF，而Sinc就是这样的本征信号。请注意，sinc函数不是任意LTI系统的本征信号。我以LPF和sinc为例，指出了一个非平凡的情况--- x（t）= y（t）将满足数学家的要求，但不满足工程师的要求：->。我敢肯定，可以提出其他特定的非平凡示例，这些示例除了复指数以外还具有其他信号作为本征信号。

同样，cos和罪恶通常不是本征信号。如果应用cos（wt）且输出为A cos（wt + theta），则此输出不能表示为输入的常数倍（theta为0或pi或A = 0时除外），这是条件使信号成为本征信号所需。在某些情况下，cos和罪是本征信号，但它们是特殊情况，而不是一般情况。

企业社会责任

— 企业社会责任
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您确定您了解我对其他答案的评论吗？关键是，对于真实的LTI系统，它期望具有真实的正弦作为本征信号。这并不意味着所有频率的所有正弦信号都是本征信号。我专门给出了它们适用的确切条件，并解释了为什么大多数LTI系统都可以满足该条件。

— Jazzmaniac

另外，不要忘记您编辑了答案以相当多地改变含义。从“对于有理传递函数，没有其他本征信号”到“对于任意系统，除了..之外，没有其他本征信号”的步骤相当大。因此，像人们无法正确理解您的反应这样说会有点。

— Jazzmaniac

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也许是空间不变的多维对象，例如圆形对称的透镜。这称为傅立叶贝塞尔展开。时间没有T，但是卷积频域关系成立