复杂的指数是LTI系统的唯一本征函数吗?


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LTI系统的所有本征函数都可以用复指数来描述,而复指数构成了信号空间的完整基础。但是,如果您的系统是degenerate,则意味着您的特征子空间的维度> 1,则对应于特征值的特征向量都是来自子空间的向量的线性组合。不同频率的复指数的线性组合不再是复指数。

非常简单的示例:作为LTI系统的身份运算符1具有整个信号空间,其特征值为1,这表示所有函数都是特征函数。


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当然除了null函数之外:)只是在开玩笑
Laurent Duval

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就我所知,对于任何任意的LTI系统,复指数都是唯一已知的本征信号。另一方面,考虑理想的LPF。所述功能: 可以很容易地被看作是本征的信号。这表明存在LTI系统(例如理想LPF),该系统具有除复杂指数以外的信号作为特征信号(在这种情况下为)。sinc

sinc(t)sin(πt)πt
sin(πt)πt

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相反,情况恰恰相反:规则是LTI系统确实具有退化的本征子空间,因此本征向量不是复杂的指数。考虑具有真实输出的系统。那么,这意味着如果是实数而,那么您已经有一个二维本征子空间,而实际正弦就是一个本征向量。这意味着任何LTI系统,其具有成为倍数的相位响应为符合条件。那是规则,而不是例外。H(ω)=H(ω)H(ω)ω0πω0
Jazzmaniac

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实际上,任何纯指数都是LTI系统的本征函数。如果您不介意处理迅速接近数量,则理论上没有要求指数是复杂的或实数的。
罗伯特·布里斯托

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我知道我编辑了您的答案(以使其在语义上更加清晰和正确),但您的答案是错误的。是一般的特征函数,以一般的线性时不变系统。对于具有特定LTI,它本征函数,而对于其他LTI 不是本征函数。
sinc(t)sin(πt)πt
H(f)=1|f|<12
罗伯特·布里斯托

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显然,“如果您不介意处理迅速接近∞的量”,则不同于“通常被认为是...平方可积函数的希尔伯特空间的信号空间”。 我的意思是,如果是您的输入,则是您的输出(其中是拉普拉斯LTI脉冲响应变换)。在我看来像本征函数。但是您对CSR的规范是正确的。
x(t)=est
y(t)=H(s)x(t)
H(s)h(t)
罗伯特·布里斯托

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@ Fat32,要求行为良好的函数空间与稳定性无关,它离不必要的或随意的很远。信号处理理论中的大多数有用结果都依赖于行为良好的信号空间。谱定理(en.wikipedia.org/wiki/Spectral_theorem)特别有用,该定理需要某些函数空间,其中是一个可能的选择。如果您想应用此数学框架(并且想要信任我),那么您将无法接受提议作为特征信号的信号。L2
Jazzmaniac

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我以为我的回答说得很清楚-显然不是:-)。最初的问题是:“除了LTI系统的复杂指数以外,还有本征信号吗?”。答案是,如果给定一个事实,即系统是LTI,但没有其他已知信息,则唯一确认的信号是复数指数。在特定情况下,系统也可能具有其他特征信号。我给出的示例是理想的LPF,而Sinc就是这样的本征信号。请注意,sinc函数不是任意LTI系统的本征信号。我以LPF和sinc为例,指出了一个非平凡的情况--- x(t)= y(t)将满足数学家的要求,但不满足工程师的要求:->。我敢肯定,可以提出其他特定的非平凡示例,这些示例除了复指数以外还具有其他信号作为本征信号。

同样,cos和罪恶通常不是本征信号。如果应用cos(wt)且输出为A cos(wt + theta),则此输出不能表示为输入的常数倍(theta为0或pi或A = 0时除外),这是条件使信号成为本征信号所需。在某些情况下,cos和罪是本征信号,但它们是特殊情况,而不是一般情况。

企业社会责任


您确定您了解我对其他答案的评论吗?关键是,对于真实的LTI系统,它期望具有真实的正弦作为本征信号。这并不意味着所有频率的所有正弦信号都是本征信号。我专门给出了它们适用的确切条件,并解释了为什么大多数LTI系统都可以满足该条件。
Jazzmaniac

另外,不要忘记您编辑了答案以相当多地改变含义。从“对于有理传递函数,没有其他本征信号”到“对于任意系统,除了..之外,没有其他本征信号”的步骤相当大。因此,像人们无法正确理解您的反应这样说会有点。
Jazzmaniac

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也许是空间不变的多维对象,例如圆形对称的透镜。这称为傅立叶贝塞尔展开。时间没有T,但是卷积频域关系成立

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