如何使用状态转换矩阵从系统的状态空间表示中找到系统的脉冲响应？

假设我们在标准状态空间符号中有一个线性表示：

Ý（吨）=c ^X（吨）+dù（吨

$$\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)$$ $$y(t) = Cx(t) + Du(t)$$

为了获得其脉冲响应，可以对其进行Laplace变换来获得

Ŷ = C ^ X + d

$$sX=AX+BU$$ $$Y=CX+DU$$

然后求解传递函数

$$\frac{Y}{U}=C(sI-A)^{-1}B+D$$

$\mathcal{Z}$

$$x[n+1]=Ax[n]+Bu[n]$$ $$y[n] = Cx[n] + Du[n]$$

是

$$\frac{Y}{U}=C(zI-A)^{-1}B+D$$

$x$

$\dot{x}(t)=A x(t) + B u(t)$

$$x(t)=x_0 e^{At}+\int_{0}^te^{A(t-t')}Bu(t')dt'$$

$x_0=x(0)$$e^{At}$$\Xi(t)$（我不记得这个的标准符号）。服用$x_0=0$，等式 $y(t)$ 变成

$$y(t)=C\int_0^t\Xi(t-t')Bu(t')dt'+Du(t)$$

上面的方程式为您提供了与系统脉冲响应卷积的输出作为输入，实际上，您可以对上面的方程式进行Laplace变换进行验证。注意到拉普拉斯变换$\Xi(t)=e^{At}$ 是 $(sI-A)^{-1}$ 时域的卷积变成s域的乘积，我们得到

$$Y=C(sI-A)^{-1}BU+DU$$

这将为您提供与问题相同的传递函数。

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关于您对完全Laplace变换方法的评论很长，我不一定要这样说。但是，状态转换矩阵方法可能更易于实现，因为涉及该状态转移矩阵的多个操作可以通过简单的矩阵乘法进行计算，仅此而已。