离散傅立叶变换

我是一名初中生，对电子学，编程等有着浓厚的兴趣。最近，我一直在学习有关信号处理的知识。

不幸的是，我还没有做太多的演算（原谅我），所以我对事情有些模糊。

• 如果要计算信号的DTFT，则该信号的或余弦表示之间有什么区别？$\sin$$\cos$

• 通过DTFT，我了解到您输入的信号在时间上将是离散的，但实际上，您如何才能在频域中获得连续的信号呢？

• 这引出了我的第二个问题，即：DTFT有何用处？大多数应用程序在哪里使用了它，为什么？

我将不胜感激任何帮助。

非常高兴您在教育之初就对信号处理感兴趣。

到达那里的最佳途径是阅读一些有关该主题的入门书。有很多不错的免费在线资源可以帮助您入门。[致敬编辑的注意：好的入门书籍可能对“粘性”来说确实是个好话题]。我有时会用

• http://www.dsprelated.com/dspbooks
• http://www.dspguide.com/pdfbook

您需要掌握的最重要的数学概念之一是“复杂”数字。这显然是用词不当，因为它实际上并不那么复杂，并且显然使几乎所有工程数学都变得更加简单。与数学相关的所有事物的另一个绝佳免费资源是http://www.khanacademy.org，在这种情况下，尤其是 http://www.khanacademy.org/video/complex-numbers--part-1?topic=core-algebra

回到您的第一个问题：傅立叶变换实际上有四种不同的风格：傅立叶级数（最有可能出现在高中），傅立叶变换，离散傅立叶变换和离散傅立叶级数。它们全部使用正弦和余弦的组合（或复指数，本质上是相同的）。您将同时需要两者。

假设您计算输入正弦波的正弦和余弦傅立叶系数。（在某些条件下）您会发现，除了一个余弦和一个正弦系数之外，所有傅立叶系数都将为零。但是，根据输入正弦波的相位，这两个数字会移动。您可能会得到[0.707 0.707]或[1 0]或[0 -1]或[-0.866 0.5]等。您会看到这两个数字的平方和总为1，但实际值取决于输入正弦波的相位。

如果您想深入了解，请尝试以下操作：http : //www.dsprelated.com/dspbooks/mdft/

您可能需要查看可通过以下途径获得的材料

INFINITY项目：将基于信号处理的工程教育扩展到高中教室

在这里可用

DTFT离散时间傅立叶变换采用离散无限信号作为输入，其频域输出是连续的，周期为2 * pi。关于它的用法，以我的经验，DFT（离散傅立叶变换）是一种用于实际目的的方法。在某些条件下，很容易证明有限的非周期性信号的DFT就是DTFT的等距采样。通常，如果我们在时间（或空间）域中对序列进行零填充，则会得到越来越多的DTFT样本。

底线是DFT非常有用，DFT可以看作是DTFT的等距采样，以获取更多DTFT采样，对信号进行零填充会有所帮助。

首先，它有助于弄清术语：

时域的功能称为信号。
频域中的函数称为频谱。

$$a_n=\frac{1}\pi\int^Ts(x){\cos{nx}}\mkern3mudx$$ $$b_n=\frac{1}\pi\int^Ts(x){\sin{nx}}\mkern3mudx$$ $$s_f(x)=\frac{a_n}2+\sum_{n=1}^\infty{a_n\cos(nx)+b_nsin(nx)}$$ $$s_f(x)=s(x)$$

在该方程式中，a _n和b _n分别是离散频谱的实部和虚部。因此，如您所见，余弦的傅立叶变换将是一个实数，而对于正弦，它将是一个虚数。该牛逼，我们整合了信号的完整周期上的积分手段。这主要用于所谓的谐波分析，在分析具有非正弦信号（方波，三角波等）的模拟电路时，我经常使用它。但是，如果信号不是周期性的，该怎么办？这是行不通的，我们必须转向傅立叶变换。

傅立叶变换将连续信号转换为连续频谱。与傅立叶级数不同，傅立叶变换允许将非周期函数转换为频谱。非周期性函数始终会产生连续光谱。

离散时间傅立叶变换获得与傅立叶变换相同的结果，但适用于离散（数字）信号而不是连续（模拟）信号。DTFT可以生成连续频谱，因为与以前一样，非周期信号将始终生成连续频谱-即使信号本身不是连续的。即使信号是离散的，仍然会存在无限数量的频率。

因此，为回答您的问题，DTFT可以说是最有用的，因为它可以对数字信号进行操作，因此可以让我们设计数字滤波器。数字滤波器远非如此比模拟的更有效。它们更便宜，更可靠并且更容易设计。DTFT用于多种应用。烦恼的是：合成器，声卡，录音设备，语音和语音识别程序，生物医学设备以及其他一些功能。纯粹的DTFT主要用于分析，但是将离散信号采集并产生离散频谱的DFT已被编程到上述大多数应用中，并且是计算机科学中信号处理的组成部分。DFT的最常见实现是快速傅立叶变换。这是一个简单的递归算法，可以在这里找到。我希望这有帮助！如有任何疑问，请随时发表评论。

作为光伏。所述DFT是通过在“频域”中对DTFT进行采样而获得的。如您所知，通过对连续时间信号进行采样可以获得离散时间信号。但是，为了从离散时间对应物完美地构造连续时间信号，采样率必须大于奈奎斯特率。为了做到这一点，必须对连续时间信号进行频率限制。

对于DTFT和DFT，情况有所不同。您具有在“频率”域中连续的DTFT。基本上，您无法存储连续信号并在计算机中对其进行处理。解决方案是样品！因此，您从DTFT采样并调用结果DFT。但是，根据采样定理从DFT完美地重建DTFT，DTFT的时域对应必须“受时间限制”。这就是为什么在使用DFT之前必须使用窗口。