离散时间傅立叶变换与离散傅立叶变换之间的差异

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我已经阅读了许多有关DTFT和DFT的文章，但是除了一些可见的东西（例如DTFT一直到无穷大而DFT一直到N-1）之外，我无法分辨两者之间的区别。谁能解释其中的区别以及何时使用什么？维基说

DFT与离散时间傅立叶变换（DTFT）的不同之处在于其输入和输出序列都是有限的。因此，它被称为有限域（或周期性）离散时间函数的傅立叶分析。

是唯一的区别吗？

编辑： 这篇文章很好地解释了区别

discrete-signals fourier-transform

— BaluRaman
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DTFT是频率的连续函数，而DFT是频率的离散函数。

— 约翰

关键是，DFT is sampled version of DFT and the rate is the length of DFT

— nmxprime 2014年

@nmxprime您的意思是DFT是DTFT的采样版本吗？

— endolith '16

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@endolith是的。–

— nmxprime

您链接的文章（第2页）说：“ CTFT为我们提供了离散频谱”。没错吗我认为在连续时间的非周期性信号经历傅立叶变换的情况下，频率是连续的。

— Aditya P

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离散时间傅里叶变换（DTFT）是离散时间信号的（常规）傅里叶变换。其输出在频率和周期上是连续的。示例：要查找连续时间信号的采样版本的频谱，可以使用DTFT。 $x(kT)$ $x(t)$

离散傅里叶变换（DFT）可以看作是DTFT输出的采样版本（在频域中）。它用于通过计算机计算离散时间信号的频谱，因为计算机只能处理有限数量的值。我反对DFT输出是有限的。它也是周期性的，因此可以无限持续。

把它们加起来：

                DTFT                | DFT
       input    discrete, infinite  | discrete, finite *)
       output   contin., periodic   | discrete, finite *)

*）的DFT的数学性质是它的两个输入和输出是周期性的与DFT长度。也就是说，尽管实际上DFT的输入矢量是有限的，但是如果DFT输入被认为是周期性的，则只能说DFT是采样频谱。 $N$

— 戴夫
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你不是意味着DTFT输入是在有限的？

— Lutz Lehmann博士2014年

@LutzL通常可以是无限的，是的。我会改变的。DFT输出呢：您宁愿称其为有限或周期性？

— 迪夫

我认为DFT的输出是N周期的有限序列

— BaluRaman 2014年

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在DFT中，很大程度上取决于解释。从技术角度来看，它可以将有限转换为有限。从它计算三角多项式的系数的角度来看，可以说它将无限离散的周期变换为有限的。但是，可以改变用于表示输入的频率窗口，并且所有可能频率上的振幅又形成一个周期性序列。

— Lutz Lehmann博士2014年

为了更加一致，我将DFT的输入使用“定期”而不是“有限”。这是DFT（输出）离散的直接结果。

— 马特L.14年

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好吧，我要用一个论点来回答这个问题，即“反对者”对我关于DFT的类似纳粹的僵化立场有反对意见。

首先，我的僵化，类似纳粹的立场：DFT和离散傅立叶级数是相同的。DFT将在“时间”域中具有周期一个无限周期序列映射到在“频率”域中又具有周期另一个无限周期序列。然后iDFT将其映射回去。它们是“内射”或“可逆”或“一对一”。 $x[n]$ $N$ $X[k]$ $N$

DFT：

X [k] = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- j 2 π n k / N}

$X[k] = \sum\limits_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j 2 \pi nk/N}$

iDFT：

x [n] = \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] e^{j 2 π n k / N}

$x[n] = \frac{1}{N} \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j 2 \pi nk/N}$

从根本上讲，这就是DFT。它本质上是周期性的或循环的事物。

但是周期性否认者喜欢对DFT这么说。是的，只是以上任何内容都没有改变。

因此，假设您有一个长度为的有限长度序列 $x[n]$ ，而不是周期性地对其进行扩展（这是DFT固有的功能），而是在此有限长度序列的左右两侧无限地附加了零。所以 $N$

\hat{x} [n] ≜ {\begin{cases} x [n] & for 0 \leq n \leq N - 1 \\ 0 & otherwise \end{cases}

$\hat{x}[n] \triangleq \begin{cases} x[n] \qquad & \text{for } 0 \le n \le N-1 \\ \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$

现在，此非重复无限序列确实具有DTFT：

DTFT：

\hat{X} (e^{j ω}) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \hat{x} [n] e^{- j ω n}

$\hat{X}\left(e^{j\omega}\right) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \hat{x}[n] e^{-j \omega n}$

$\hat{X}\left(e^{j\omega}\right)$ 是的Z变换，在单位圆上求出了无穷多个实数值。现在，如果你要样本而DTFT在等间隔的点在单位圆上，以在一个点，您会得到 $\hat{x}[n]$ $z=e^{j\omega}$ $\omega$ $\hat{X}\left(e^{j\omega}\right)$ $N$ $z=e^{j\omega}=1$

\begin{aligned} \hat{X} (e^{j ω}) |_{ω = 2 π \frac{k}{N}} & = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \hat{x} [n] e^{- j ω n} |_{ω = 2 π \frac{k}{N}} \\ = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \hat{x} [n] e^{- j 2 π k n / N} \\ = \sum_{n = 0}^{N - 1} \hat{x} [n] e^{- j 2 π k n / N} \\ = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- j 2 π k n / N} \\ = X [k] \end{aligned}

$\begin{align} \hat{X}\left(e^{j\omega}\right)\Bigg|_{\omega = 2 \pi\frac{k}{N}} & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \hat{x}[n] e^{-j \omega n} \Bigg|_{\omega = 2 \pi\frac{k}{N}} \\ & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \hat{x}[n] e^{-j 2 \pi k n/N} \\ & = \sum\limits_{n=0}^{N-1} \hat{x}[n] e^{-j 2 \pi k n/N} \\ & = \sum\limits_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j 2 \pi k n/N} \\ & = X[k] \\ \end{align}$

正是DFT和DTFT之间的关系。在“频率”域中以均匀的间隔对DTFT进行采样会导致在“时间”域中原始序列重复并移位的所有倍数并叠加。这就是一个域中的统一采样导致另一域中的原因。但是，由于被假设为的区间之外即重叠相加什么都不做。它只是周期性地扩展的非零部分，即我们最初的有限长度序列。 $\hat{x}[n]$ $N$ $\hat{x}[n]$ $0$ $0 \le n \le N-1$ $\hat{x}[n]$ $x[n]$

— 罗伯特·布里斯托·约翰逊
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接受的答案很好，但是我发现您的答案更具洞察力。感谢您提供DTFT与DFT之间的实际数学联系，尤其是引起时域周期性的光谱采样。这是我一直忘记的一点。

— rayryeng-恢复莫妮卡2015年

您的第二段似乎暗示DFT接受长度无限的输入序列。有没有人执行过无限长DFT？

— 理查德·里昂斯

嘿Rick，很高兴从comp.dsp看到您。我记得第一次迁移时被@PeterK问候（但我永远不会离开comp.dsp）。无论如何，DFT接受无限长度的输入序列的程度与DFS接受无限长度的输入序列的程度相同。我的意思是说DFT和DFS是一对一的。

— 罗伯特·布里斯托

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@罗伯特·布里斯托-约翰逊这是一个很好的解释。我的问题可能不好，但是，通过离散傅立叶级数，您是指输入是在两个方向上无限进行的连续周期函数的情况，对吗？我记得说过，从阅读乔治·西洛夫（George Silov）的多佛（Dover）书中，如果通过使用足够精细的频率网格使傅立叶系数的数量足够大，则傅立叶级数可以任意紧密地重现周期连续函数。这就是您指的fs，当您说它们与DFT相同时，对吗？谢谢。

— 马克·利兹，2017年

由离散傅立叶级数表示，我的意思与答案中显示的DFT和iDFT定义相同：并且，对于和，它们都是周期为的周期：，是一个正整数。这就是DFS的全部意思。

X [k] = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- j 2 π n k / N}

$X[k] = \sum\limits_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j 2 \pi nk/N}$

x [n] = \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] e^{j 2 π n k / N}

$x[n] = \frac{1}{N} \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j 2 \pi nk/N}$

x [n]

$x[n]$

X [k]

$X[k]$

N

$N$

x [n + N] = x [n] \forall n \in Z

$x[n+N] = x[n] \qquad \forall n \in \mathbb{Z}$

X [k + N] = X [k] \forall k \in Z

$X[k+N] = X[k] \qquad \forall k \in \mathbb{Z}$

N

$N$

— 罗伯特·布里斯托

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由于DTFT输出是连续的，因此无法用计算机处理。因此，我们必须将此连续信号转换为离散形式。正是DFT作为FFT的进一步改进以减少计算量。

— 高拉夫·辛加尔
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如果我是正确的话，即使DFT输入是周期性的，尽管样本数是有限的，但其背后的数学将其视为一个无限序列，该序列N在终止后会定期开始采样。如果我错了，请纠正我。

— ubuntu_noob
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我在comp.dsp上遇到的一些争论可能会“纠正”您，但它们是错误的。DFT和离散傅立叶级数之间没有区别。没有任何。

— 罗伯特·布里斯托

为了帮助我理解这里所说的内容，我对您称为“离散傅立叶级数”的操作的输出有疑问。是输出数字序列还是连续函数（方程式）？

— 理查德·里昂斯

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DFT：反比将是：

X [k] = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- j 2 π n k / N}

$X[k]=\sum_{n=0}^{N−1} x[n] e^{−j2\pi nk/N}$

x [n] = \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] e^{j 2 π n k / N}

$x[n]=\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N−1} X[k] e^{j2\pi nk/N}$

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请使用Latex标记，以便您的数学可读性，并解释更多遵循的过程，以便您的答案实际上可以帮助OP。

— MBaz