当滤波器称为非线性时，在图像处理中意味着什么？

在图像处理中，将滤波器称为非线性是什么意思？

这是否意味着滤波器的方程包含导数，如果不包含导数，则将其称为线性方程？

对于任何标量的过滤器F被称为“线性”，当且仅当，和任何图像和：$c_1$$c_2$$I_1$$I_2$

$F\left(c_1\cdot I_1+c_2\cdot I_2\right)=c_1\cdot F\left(I_1\right)+c_2\cdot F\left(I_2\right)$

这包括：

• 衍生品
• 积分
• 傅里叶变换
• Z变换
• 几何变换（旋转，平移，缩放，扭曲）
• 卷积与相关
• 线性滤波器的任何元组的组成（即，将线性滤波器应用于另一个线性滤波器）$F(G(I))$
• 任何两个线性滤波器的结果之和（即，一个滤波器的输出，一个像素一个像素地添加到另一个滤波器的输出）$F(I) + G(I)$

还有很多其他

非线性滤波器的示例包括：

• 线性滤波器结果的平方，绝对值，平方根，exp或对数
• 任何两个线性滤波器的结果的乘积（即一个滤波器的输出，一个像素乘另一个像素的输出乘积）$F(I)\cdot G(I)$
• 形态过滤器
• 中值过滤器

假设您有两个滤镜，一个是线性的，另一个是非线性的（用于滤除某些噪声破坏的图像）。也就是说，在图像的一个小的矩形区域中，您有一些值很高或很低的坏像素，看上去有点“奇怪”。

现在，线性滤波器（例如“平均值”）的工作方式如下：

1. 在元素上放置一个窗口
2. 取平均值-将元素求和，然后将总和除以元素数。

您会注意到，如果扩大滤镜窗口的面积，则会将其拉伸到更多元素上（即，更多元素会自动构成平均值，从而对滤波后的像素值有所贡献）。

另一方面，对于非线性过滤器（例如中值）（用正方形窗口内部的中值替换要过滤的像素），增加窗口并不一定会对窗口的中值有所贡献，因此不会直接影响过滤后的像素。

这是一个数字示例：假设您有ai，j（即3x3窗口），其锚点（中心像素位于位置（2,2）的中间像素），值分别为（亮度级别）40、60、80、89、90 ，100、101、105、185。您会注意到中间值是90，因此锚点像素将变为90。现在，您可以说增加窗口大小，并向这9个窗口添加更多值，即拥有5x5窗口。即使在此之后，中位数仍然是90。因此，输入的变化并不一定会导致输出成比例的变化，因此是非线性的。

$x[t+1]$$x[t]$$x[t-1]$

当然，“线性”与线性滤波器无关。假设我想使用三个先前的值来预测信号的值，然后决定通过二阶多项式拟合它们并进行外推。然后，外推将拟合抛物线，但我的滤波器仍将是线性滤波器，因为外推值是输入的线性组合。