如何平均复杂的响应（和理由）？

我正在开发通过比较输入和输出信号的FFT计算系统响应的软件。输入和输出信号被划分为多个窗口，并且对于每个窗口，将信号进行中值相减并乘以Hann函数。那么，该窗口的仪器响应就是已处理数据的FFT比率。

我相信以上是标准程序，尽管我可能对此描述不佳。我的问题来自如何组合来自多个窗口的响应。

据我所知，正确的方法是在所有窗口中平均复数值。振幅和相位响应就是每个频率上平均复数的振幅和相位：

av_response = sum_windows(response) / n
av_amplitude = sqrt(real(av_response)**2 + imag(av_response)**2)
av_phase = atan2(imag(av_response), real(av_response))

频点上的隐式环路。

但我一直在问这个改变计算幅度和在每个窗口期第一，然后平均在所有窗口的振幅和相位：

amplitude = sqrt(real(response)**2 + imag(response)**2)
av_amplitude = sum_windows(amplitude) / n
phase = atan2(imag(response), real(response))
av_phase = sum_windows(phase) / n

我认为这是不正确的，因为平均角度“是错误的”-例如，0度和360度的平均值为180度，但是与我合作的人回答说“好，我们只会显示振幅”。

所以我的问题是：

• 我是否认为第二种方法对振幅也普遍不正确？
• 如果是这样，是否有任何可能相关的例外情况？这些例外情况可以解释为什么我与之共事的人更喜欢第二种方法？例如，随着噪声变小，这两种方法看起来会一致，那么这可能是低噪声的公认近似值吗？
• 如果第二种方法不正确，那么可以使用任何令人信服的权威参考来证明这一点吗？
• 如果第二种方法不正确，是否有任何好的，易于理解的示例针对振幅进行显示（如相位为0和360度的平均值）？
• 另外，如果我做错了，对我来说，如何更好地自我教育的好书呢？

我试图证明-1 1 1 -1 1 -1 -1 -1的平均值应该为零而不是1，但这令人信服。尽管我认为我可以随着时间的流逝，基于给定特定的噪声模型，基于最大似然估计来构造一个论点，但这并不是我与之共事的人会听的那种推理。因此，如果我没有记错的话，我要么需要权威的有力论据，要么需要“明显”的示范。

[我尝试添加更多标签，但找不到相关标签，也无法将新标签定义为新用户-抱歉]

传递函数估计的实现通常与您描述的方法略有不同。

您的方法计算

$$\left\langle \frac{\mathcal{F}[y]}{\mathcal{F}[x]} \right\rangle$$

其中尖括号表示在数据段上获取的平均值，并且在进行傅立叶变换（）之前将开窗函数应用于每个数据段。$\langle$$\rangle$$\mathcal{F}$

一个更典型的实现将计算x和y 的交叉谱密度除以x的功率谱密度：

$$\frac{\langle \mathcal{F}[y] \cdot \mathcal{F}[x]^* \rangle}{\langle|\mathcal{F}[x]|^2\rangle} = \frac{\langle \mathcal{F}[y] \cdot \mathcal{F}[x]^* \rangle}{\langle\mathcal{F}[x]\cdot\mathcal{F}[x]^*\rangle}$$

其中代表点积，为复共轭。$\cdot$$*$

我相信这是为了减少 bin 太小的数据段的影响。$\mathcal{F}[x]$

不连贯的估计

您的雇主建议您使用

$$\frac{|\langle \mathcal{F}[y]|\rangle}{\langle |\mathcal{F}[x]|\rangle}$$

这可以工作，但是有两个很大的缺点：

1. 您没有任何相位信息。
2. 如果您对输入和输出测量结果有任何其他噪声，则传递函数估计将不正确。$x$$y$

您的方法和我描述的方法通过使用相干平均来避免这些问题。

参考文献

使用重叠平均段来计算功率谱密度的一般想法被称为韦尔奇（Welch）方法。我相信使用它来估计传递函数的扩展通常也被称为Welch方法，尽管我不确定Welch的论文中是否提到了它。查找Welch的论文可能是有价值的资源。Bendat和Piersol的书《随机数据：分析和测量程序》是关于该主题的有用专论。

验证方式

为了验证您的软件，我建议应用几个测试案例，在这些案例中，您会产生高斯白噪声，并将其通过具有已知传递函数的数字滤波器馈入。将输入和输出输入到传递函数估计例程中，并验证估计是否收敛到传递函数的已知值。

欢迎使用信号处理！

你是绝对正确的。您不能简单地分别对DFT幅度和相位进行平均，尤其是相位。这是一个简单的演示：

令。根据定义，大小和相位的是：$z = a+bi$$|z|$$\angle z$$z$

$$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$$ $$\angle z = \tan ^{-1} \left( \frac{b}{a} \right)$$

两个复数值和平均值为$z$$z_1$$z_2$

$$z = \frac{ z_1 + z_2 } {2} = \frac{ a_1+b_1i + a_2 + b_2i } {2} = \frac{ (a_1+a_2) + (b_1 + b_2)i } {2}$$

在这种情况下，

$$|z| = \sqrt{\frac{(a_1+a_2)^2}{4} + \frac{(b_1+b_2)^2}{4}} = \frac{1}{2}\sqrt{(a_1+a_2)^2 + (b_1+b_2)^2}\neq \frac{\sqrt{a_1^2 + b_1^2}+\sqrt{a_2^2 + b_2^2}}{2}$$

也，

$$\angle z = \frac{\tan ^{-1} \left( \frac{b_1}{a_1} \right) + \tan ^{-1} \left( \frac{b_2}{a_2} \right)}{2} \neq \tan ^{-1} \left( \frac{2(b_1+b_2)}{2(a_1+a_2)} \right)$$

如果比较这些不等式的程度，可以说的近似值。是关闭的二次项，而近似在完全没有意义的。$|z|$$\angle z$

现在，为了做您想做的事情，我建议以下几点。从理论上讲，您可以通过将输出的DFT除以输入的DFT来找到系统的脉冲响应。但是，在有噪音的情况下，您将得到非常奇怪的结果。更好的方法是使用双通道FFT脉冲响应估计，其估算方法如下（此处未提供推导，但您可以在线找到它）。

让，其中是的DFT -第（因此标）加窗的输入信号的块（因此下标为输入）。类似地，对于输出信号，令。您可以看到，信号仅仅是开窗DFT的平均值。然后，脉冲响应的统计双通道FFT逼近由下式给出：$G_i(f) = \dfrac{ F^1_i(f) + F^2_i(f) + \cdots + F^N_i(f) }{N}$$F^k_i(f)$$k$$k$$i$$G_o(f) = \dfrac{ F^1_o(f) + F^2_o(f) + \cdots + F^N_o(f) }{N}$$G$ ħ（˚F）ħ（˚F）$\hat{H}(f)$$H(f)$

$$\hat{H}(f) = \frac{G_o(f)G_i^*(f)}{|G_i(f)|^2}$$

其中，代表复共轭（翻转所有的虚数部分的符号）。$(\cdot)^*$

这是FFT频谱的相干和不相干平均之间的差异。相干平均更有可能拒绝分析中的随机噪声。不相干更有可能加剧随机噪声的幅度。以下哪一项对您的结果报告更重要？