压缩感测的适用性

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据我所知，压缩感测只能用于稀疏信号。它是否正确？

如果是这样，如何将稀疏信号与任何带宽受限信号区分开？与那种情况下变成稀疏信号相比，每个信号都可以扩展为包括稀疏或零系数信号部分？

此外，压缩感测是否一直都能完美地检索信息或发出信号？

补充：顺便说一下，我刚刚开始学习这些东西，所以这个问题的目的是品尝一下这些东西是什么。

— 用户名
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@DilipSarwate那么，在任何情况下，一个人只能被迫使用Shannon-nyquist采样定理吗？

— user2346

我认为，如果您处于采样矩阵相对于测量矩阵而言并非最佳的情况下（即您的测量和表示基础是连贯的），那么您可能别无选择，只能使用奈奎斯特频率来捕获噪声。最高频率含量。否则，您可以将测量矩阵设计为在某种表示基础上不连贯。

— 2014年

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就像@sansuiso所说的那样，压缩传感是一种获取信号的方法，如果信号稀疏或可压缩，它恰好是有效的。

压缩感测是有效的，因为信号是多路复用的，因此，多路复用样本的数量（称为测量）要比Shannon-Nyquist所要求的样本数量小，因为对于该信号没有很强的假设。

在无噪声的情况下，可以证明压缩感测重建求解器可以恢复精确的解。

在可压缩的情况下，与严格稀疏的情况相反，可以证明重构误差是有限的。

是的，包括超声波在内的大多数信号都是稀疏的或可压缩的。通常可以归结为找出信号稀疏的字典。领域专家通常都知道这些事情。

您有一个有趣的问题：想象您有一个非稀疏信号，然后加零使其稀疏，然后使用压缩传感对该信号进行采样，这是否比直接对完整信号进行采样更好？

答案是不。

事实证明，CS工作所需要的采样要求比仅对原始（完整/非零）信号进行完整采样所需要的信息更多。换句话说，所需的CS测量数量将高于信号中非零元素的数量。通过稀疏信号，您正在故意“丢失”有关支持信号的位置的信息（即非零）。压缩感测和伴随的重建求解器的难点在于找到信号中那些非零元素所处的位置：如果您事先知道那些非零元素的位置，则无需采用效率较低的方法。对该信号进行采样。确实，找到信号的非零元素的位置是我们谈论压缩感测为NP-Hard的原因，

让我换一种说法：假设信号具有K个非零分量。如果您知道这K个元素的位置，则只需要K个信息即可知道您的信号。如果在信号的任何位置添加零，并使该信号的大小为N，则现在需要通过传统的采样方式对信号进行N次采样，或者使用压缩感测方法对信号进行O（Klog（K / N））次采样。由于O（Klog（K / N）> K，因此丢失有关非零元素位置的信息会产生大量的样本/测量值。

您可能有兴趣阅读有关此主题的小型博客：http : //nuit-blanche.blogspot.com/search/label/CS 和以下资源：http : //nuit-blanche.blogspot.com/p/teaching -compressed-sensing.html

— 伊戈尔·卡隆（Igor Carron）
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这里有两件事：稀疏性和压缩感知。

稀疏性是一个普遍的假设，只是声称信号的大部分能量都以良好的基础存储在少量系数中。查看傅立叶变换或小波变换，这非常直观。对于任何感兴趣的信号（图像，声音...），这都是事实，并解释了为什么JPEG或mp3压缩起作用。

在ICIP'11上引用JL Starck（在他的全会后的提问中）：

压缩感知是一个定理。

他的意思是，压缩感测是一组结果，可确保您通过很少的测量就可以准确恢复稀疏信号，前提是您拥有良好的感测矩阵，即您的测量具有一些不错的特性（有人向我解释说，一种多路传感）。重建算法通常在某些小波基础上通过使信号的L1范数最小化来在重建过程中将信号的稀疏度用作附加信息（请注意，受L0范数约束的恢复问题通常无法解决，因为它是NP-硬）。

— Sansuiso
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仅作记录，我的研究方向是医学超声，其原始信息几乎不可压缩。

— 亨利·戈默索尔

@HenryGomersall这很有趣-您能对此进行扩展吗？它是不可压缩的，因为超声信号在频域中有很多支持吗？（因此不稀疏吗？）

— Spacey

@穆罕默德是的。从本质上讲，该信息是来自各个尺度的散射体随机分布的干扰模式。这给出了基本白色的信号。关于显着信息是否稀疏，有一个完整的哲学讨论，但是那不是临床医生所期望的超声图像。

— 亨利·戈默索尔

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@HenryGomersall有趣的是，我刚刚看了这个讨论，但是如果您的数据本质上是白色的，那么数据如何开始呢？您有什么可能的用途？

— TheGrapeBeyond 2014年

这意味着样本之间没有相关性。白度是关于PSD的陈述，它是自相关函数的傅立叶变换。因此，没有相关性意味着白信号。不可压缩信号的性质是它们看起来像随机噪声。

— 亨利·戈默索尔

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我不是压缩感测方面的专家，但是我对此有些熟悉。

我在某处听说压缩感知只能用于稀疏信号。这是正确的吗？

不，它可以在任何地方使用，但是正如Dilip所说，它仅对稀疏信号有意义。如果信号不稀疏，则没有理由不进行标准的奈奎斯特采样，因为这样做会很有效。

又如何区分稀疏信号和任何带限信号？

尽管我确信那里有“稀疏”的正式定义（它们可能也不相同），但我不知道正式的定义。人们所说的稀疏性倾向于根据情况而改变。

我要说的是，稀疏信号是指任何信息（使用单词的信息理论定义）具有比其连续且充分利用其频率范围所可能具有的信息要低得多的信息。稀疏信号的一些例子是什么？跳频信号。突发信号。即使没有人在说话，也会连续发送的对讲机AM信号。

每个信号都可以扩展为包括稀疏或零系数信号部分。

就像说信号只有100 MHz宽还是100 MHz宽一样？您可以定义任何您想要的东西，就像老天文学家能够获得绕地球运转的太阳的数学原理一样。这并不意味着他们的方程式有用。

压缩感测是否一直都能完美地检索信息或发出信号？

压缩感测是一种技术。像任何技术（包括奈奎斯特采样）一样，它都有条件。如果满足条件，请使用良好的特征提取器来尝试检测信号，它将很好地工作。如果您不这样做，那就不会。在理论模型之外的任何事物中，没有任何一种技术能够完美地提取信号。是的，我敢肯定，压缩感测可以完美地提取出理论信号。

— 吉姆·克莱
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What, like saying the signal is 100 MHz wide even if it's only 1 MHz wide? You can define things to be whatever you want, just like old-time astronomers were able to get the math of the sun orbiting the Earth to work. That doesn't mean that their equations were useful.

-这句话是什么意思？

— Dipan Mehta 2012年

@DipanMehta这意味着您可以人为地“扩展”信号以使其“稀疏”，但这并不是一件有用的事情。

— 吉姆·克莱

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如果有人拒绝回答，请给出原因，我将不胜感激。

— 吉姆·克莱

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它并不是仅适用于稀疏信号，而是找到了信号几乎稀疏的域（所有自然发生的信号在某些域中都是稀疏的，随机噪声除外）。如果用更少的测量值来近似，则所有其他测量值都将相对较小，因此您可以安全地丢弃它们。

— 阿比舍克·萨达西万（Abhishek Sadasivan）
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