计算并解释瞬时频率

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我不了解计算瞬时频率的原理，并且提出了很多问题。您可以在本文末尾的项目符号列表中找到它们。请原谅，这段文字可能会有点长，但是我真的想自己解决这个问题。

因此，我对实值信号的瞬时频率 $f(t)$ 感兴趣。计算是借助解析信号，其中是 $x(t)$ $z(t) = x(t) + j y(t)$ $y(t)$ $x(t)$ 。

为了根据分析信号 $z(t)$ 计算瞬时频率，我遵循以下论文：

Arthur E. Barns从1992年开始计算瞬时频率和瞬时带宽。在本文中，他介绍了多种计算瞬时频率的方法。我写下了他提出的所有公式（我曾经使用过）。

为了进行“学习”，我在MATLAB中试用了一个非常简单的信号，以及两个稍微复杂的信号，并希望获得它们的瞬时频率。

Fs = 1000;                                            % sampling-rate = 1kHz
t = 0:1/Fs:10-1/Fs;                                    % 10s 'Timevector'
chirp_signal = chirp(t,0,1,2);                         % 10s long chirp-signal, signal 1
added_sinusoid = chirp_signal + sin(2*pi*t*10);        % chirp + sin(10Hz), signal 2
modulated_sinusoid = chirp_signal .* sin(2*pi*t*10);   % chirp * sin(10Hz), signal 3

这三个信号的时域图如下所示：

在应用本文中的所有方法之后，我得到的所有瞬时频率图如下：

纯线性调频信号的 纯线性调频信号的瞬时频率 瞬时频率：添加正弦波的线性调频信号的瞬时频率： 附加正弦波的线性调频信号的瞬时频率 瞬时频率：调制线性调频信号的瞬时频率： 调频线性调频信号的瞬时频率请注意，在所有三个图像中，图3和图4的y轴都放大了，因此它们的幅度信号很小！

从分析信号到瞬时频率的第一种可能性是：

F_{2} （ Ť ） = \frac{1个}{2 π} \frac{d}{d Ť} θ （ Ť ）

$\begin{equation} f_{2}(t) = \frac{1}{2\pi} \frac{d}{dt}\theta(t) \end{equation}$

θ (t)

$\theta(t)$

function [instantaneous_frequency] = f2(analytic_signal,Fs)
    factor =  Fs/(2*pi);
    instantaneous_frequency = factor * diff(unwrap(angle(analytic_signal)));
    % Insert leading 0 in return-vector to maintain size
    instantaneous_frequency = [0 instantaneous_frequency];
end

在本文中，Barns现在建议（或更确切地说说是编译）从解析信号中计算瞬时频率的其他四种方法。他还提到了上式，但认为由于该阶段的歧义，因此不切实际。我猜想，他不知道该unwrap()方法，或更确切地说，它背后的数学方法也不是。（我自己今天在查看其他有关瞬时频率的源代码时确实了解了该方法）

在他的论文中，该公式的标签为数字（2），因此，我为f（t）赋予了索引2。所有其他索引均以相同的方式与本文中的数字对应。

由于阶段性模棱两可，他宁愿建议：

F_{3} （ Ť ） = \frac{1个}{2 π} \cdot \frac{\overset{一个}{\overset{⏞}{X （ Ť ） ÿ^{'} （ Ť ）}} - \overset{b}{\overset{⏞}{X^{'} （ Ť ） ÿ （ Ť ）}}}{\underset{C}{\underset{⏟}{X （ Ť ）^{2}}} + \underset{d}{\underset{⏟}{ÿ （ Ť ）^{2}}}}

$\begin{equation} f_{3}(t) = \frac{1}{2\pi}\cdot\frac{\overbrace{x(t)y'(t)}^\text{a}-\overbrace{x'(t)y(t)}^{\text{b}}}{\underbrace{x(t)^2}_{\text{c}}+\underbrace{y(t)^2}_{\text{d}}} \end{equation}$

function [instantaneous_frequency] = f3(analytic_signal,Fs,T)
    x = real(analytic_signal);
    y = imag(analytic_signal);
    diff_x = diff(x);
    diff_y = diff(y);
    factor = Fs/(2*pi);
    a = x(2:end).*diff_y;
    b = y(2:end).*diff_x;
    c = x(2:end).^2;
    d = y(2:end).^2;
    instantaneous_frequency = factor * ((a-b)./(c+d));
    % Insert leading 0 in return-vector to maintain size
    instantaneous_frequency = [0 instantaneous_frequency];
end

F_{9} （ Ť ） = \frac{1个}{2 π Ť} \cdot Arctan [\frac{\overset{一个}{\overset{⏞}{X （ Ť ） ÿ （ Ť + Ť ）}} - \overset{b}{\overset{⏞}{X （ Ť + Ť ） ÿ （ Ť ）}}}{\underset{C}{\underset{⏟}{X （ Ť ） X （ Ť + Ť ）}} + \underset{d}{\underset{⏟}{ÿ （ Ť ） ÿ （ Ť + Ť ）}}}]

$\begin{equation} f_{9}(t) = \frac{1}{2\pi T}\cdot\text{arctan}\left[\frac{\overbrace{x(t)y(t+T)}^{\text{a}}-\overbrace{x(t+T)y(t)}^{\text{b}}}{\underbrace{x(t)x(t+T)}_{\text{c}}+\underbrace{y(t)y(t+T)}_{\text{d}}}\right] \end{equation}$

function[instantaneous_frequency] = f9(analytic_signal, Fs, T)
    x = real(analytic_signal);
    y = imag(analytic_signal);
    factor = Fs/(2*pi*T);
    a = x(1:end-T).*y(1+T:end);
    b = x(1+T:end).*y(1:end-T);
    c = x(1:end-T).*x(1+T:end);
    d = y(1:end-T).*y(1+T:end);
    instantaneous_frequency = factor.*atan((a-b)./(c+d));
    % Append 0 to return-vector to maintain size
    instantaneous_frequency = [instantaneous_frequency zeros(1,T)];
end

F_{11} （ Ť ） = \frac{1个}{4 π Ť} \cdot Arctan [\frac{\overset{一个}{\overset{⏞}{X （ Ť - Ť ） ÿ （ Ť + Ť ）}} - \overset{b}{\overset{⏞}{X （ Ť + Ť ） ÿ （ Ť - Ť ）}}}{\underset{C}{\underset{⏟}{X （ Ť - Ť ） X （ Ť + Ť ）}} + \underset{d}{\underset{⏟}{ÿ （ Ť - Ť ） ÿ （ Ť + Ť ）}}}]

$\begin{equation} f_{11}(t) = \frac{1}{4\pi T}\cdot\text{arctan}\left[\frac{\overbrace{x(t-T)y(t+T)}^{\text{a}}-\overbrace{x(t+T)y(t-T)}^{\text{b}}}{\underbrace{x(t-T)x(t+T)}_{\text{c}}+\underbrace{y(t-T)y(t+T)}_{\text{d}}}\right] \end{equation}$

function [instantaneous_frequency] = f11(analytic_signal, Fs, T)
    x = real(analytic_signal);
    y = imag(analytic_signal);
    factor = Fs/(4*pi*T);
    a = x(1:end-2*T).*y(1+2*T:end);
    b = x(1+2*T:end).*y(1:end-2*T);
    c = x(1:end-2*T).*x(1+2*T:end);
    d = y(1:end-2*T).*y(1+2*T:end);
    instantaneous_frequency = factor.*atan((a-b)./(c+d));
    % Append and insert 0s to maintain size
    instantaneous_frequency = [zeros(1,T) instantaneous_frequency zeros(1,T)];
end

F_{14} （ Ť ） = \frac{2}{π Ť} [\frac{\overset{一个}{\overset{⏞}{X （ Ť ） ÿ （ Ť + Ť ）}} - \overset{b}{\overset{⏞}{X （ Ť + Ť ） ÿ （ Ť ）}}}{\underset{C}{\underset{⏟}{（ X （ Ť ） + X （ Ť + Ť ） ）^{2}}} + \underset{d}{\underset{⏟}{（ ÿ （ Ť ） + ÿ （ Ť + Ť ） ）^{2}}}}]

$\begin{equation} f_{14}(t)=\frac{2}{\pi T}\left[\frac{\overbrace{x(t)y(t+T)}^{\text{a}}-\overbrace{x(t+T)y(t)}^{\text{b}}}{\underbrace{(x(t)+x(t+T))^2}_{\text{c}}+\underbrace{(y(t)+y(t+T))^2}_{\text{d}}}\right] \end{equation}$

function [instantaneous_frequency] = formula14(analytic_signal, Fs, T);
    x = real(analytic_signal);
    y = imag(analytic_signal);
    factor = 2*Fs/(pi*T);
    a = x(1:end-T).*y(1+T:end);
    b = x(1+T:end).*y(1:end-T);
    c = (x(1:end-T)+x(1+T:end)).^2;
    d = (y(1:end-T)+y(1+T:end)).^2;
    instantaneous_frequency = factor * ((a-b)./(c+d));
    % Append and insert 0s to maintain size
    instantaneous_frequency = [instantaneous_frequency zeros(1,T)];
end

如本文所建议，在所有3个近似公式中，T均设置为Fs（T = Fs = 1000 = 1s）。

现在我的问题是：

对于纯线性调频信号，公式f2和f3返回相同的结果。我认为这很好，因为他们的计算方法相同。三种近似方法不会返回相同的结果，甚至不会返回近似值！为什么会这样？（我希望这不只是一个编程错误...）
尽管他们返回了相同的结果，尤其是在情节结束时，他们还是开始“摆动” 很多。对此有什么解释？我首先想到了混叠之类的东西，但是与信号的频率相比，我的采样频率很高，因此我认为可以将其排除在外。
至少f2和f3似乎适用于纯线性调频信号，但是当涉及信号中的多个频率时，包括f2和f3在内的所有方法似乎都失败了。实际上，在信号中通常具有多个频率。那么如何获得（或多或少）正确的瞬时频率呢？
- 当信号中存在多个频率时，我什至不知道会发生什么。该计算返回给定时间点的一个数字，那么当出现更多频率时，该怎么办？返回所有频率的平均值或类似的值？
我可能最重要的问题是，如何在真实而精致的软件中处理该问题？假设我想知道在1.75 s处的调制信号的瞬时频率，并且选择了方法f2，那么我可以很“幸运”并获得接近6 [Hz]的数字，这很可能是正确的答案，或者挑选我的结果旁边的几个样本，突然间我得到了一些连线，达到了很高的结果，因为不幸的是我在峰值中选择了一个值。如何处理？通过使用均值甚至更好的中值滤波器对其进行后处理？我认为即使如此，也可能会变得非常困难，尤其是在许多峰值彼此相邻的区域。

最后一个不是那么重要的问题，为什么我发现有关瞬时频率的大多数论文都来自地理领域，尤其是在计算地震等地震事件时。巴恩的论文也以此为例。瞬时频率在很多地方不是很有趣吗？

到目前为止，就我的每一个答复，我都非常感谢，尤其是当有人给我有关如何在实际软件项目中实现它的提示时；）

亲切的问候，帕特里克

— u
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这并不是一个真正的答案，但可能会有所帮助：我个人认为，瞬时频率的概念仅对足够窄的频带信号有用。

考虑两个稳定正弦波的简单示例，例如100Hz和934Hz。在这种情况下，您当然可以定义和计算瞬时频率（以您想要的任何方式），但是结果应该是什么？瞬时频率对信号有什么可能的见解或特性说明什么有意义？将瞬时频率的概念应用于同时具有多个频率的信号，根本没有多大意义。

这就是为什么您在扫描中获得不错的结果，但在Sweep + sine中获得奇数曲线的原因。这也是为什么您会看到摆动很大部分的原因。信号的带宽过高，无法为其分配单个频率编号，因此结果会跳来跳去。

— 希尔玛
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到目前为止，谢谢的提示，我认为这一评论很有意义。但是，我不知道为什么在20Hz以上时，“纯线性调频信号”的瞬时相位的计算会遇到麻烦。目前只有一个频率可以确定。

— muuh 2015年

//瞬时频率的概念仅适用于足够窄的频带信号 。//-是的，就像单个AM'd和FM'd正弦波一样。

— 罗伯特·布里斯托

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至少f2和f3似乎适用于纯线性调频信号，但是当涉及信号中的多个频率时，包括f2和f3在内的所有方法似乎都失败了。实际上，在信号中通常具有多个频率。那么如何获得（或多或少）正确的瞬时频率呢？

正如希尔马（Hilmar）所建议的那样，希尔伯特变换（或“分析信号”）方法不适用于宽带，因为存在多个频率分量。您只能对单个正弦波分量执行此方法。

因此，使用“分析信号”方法，您要做的就是利用以下身份：

Arctan ü - Arctan v = Arctan （ \frac{ü - v}{1个 + ü v} ）

$\arctan u - \arctan v = \arctan \left( \frac{u-v}{1+uv} \right)$

$|u-v|$ $f_9$

但是希尔伯特变换计算中必须只有一个随时间变化的正弦曲线才能正确地做到这一点。并且最好将“同相”分量与希尔伯特变换的输出（因果FIR滤波器延迟）对齐。否则你会胡扯。

— 罗伯特·布里斯托·约翰逊
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哇，这是一个很大的问题。我将首先回答一个不太重要的问题：

最后一个不是那么重要的问题，为什么我发现有关瞬时频率的大多数论文都来自地理领域，尤其是在计算地震等地震事件时。巴恩的论文也以此为例。瞬时频率在很多地方不是很有趣吗？

原因是在石油工业中使用了地震学系统“振动”。我链接的卡车从大约5 Hz振动到大约90 Hz，并且可以发出vi声信号。石油行业有很多钱，处理这些信号的回报可能非常有利可图。因此，许多人已经花费了许多时间来分析此类信号，包括查看瞬时频率技术。

$^{\rm TM}$

查看本文。

更好的方法倾向于使用此处实现的“相位加权平均器” 。或者在这里直接链接到matlab。

— 彼得·K.
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很抱歉在事实发生后的一年内提供答案，但是我在寻找有关该主题的文章时偶然发现了这篇文章。您的问题反映了自成立以来困扰该领域的广泛分歧和对“瞬时频率”的解释。作为此处的部分答案，许多人会告诉您IF仅适用于“窄带”或“单分量”信号。实际上，这是不正确的：有时，对于宽带和/或“多分量”信号，希尔伯特变换获得的IF表现得很好。已经提出的避免许多这些困难的一个量是“加权平均瞬时频率（WAIF）”，其可以使用频谱图来测量。

参见J. Acoust中的Loughlin。Soc。Pic.bono（IEEE Trans。Sig。Proc。，1997年3月）和Vakman（IEEE Trans。Sig.Proc。，1996年4月）是有关IF和常见误解的其他优秀论文。

— 来宾
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