为什么高斯滤波器在图像处理中用作低通滤波器？

在1d信号处理中，使用了许多类型的低通滤波器。但是，高斯滤波器几乎从未使用过。

为什么它们在图像处理应用程序中如此受欢迎？这些过滤器是优化任何标准的结果还是仅仅是临时解决方案，因为通常无法很好地定义图像的“带宽”。

图像处理应用程序与音频处理应用程序有所不同，因为它们中的许多已针对眼睛进行了调整。高斯蒙版几乎完美地模拟了光学模糊（另请参见点扩散函数）。在任何针对艺术作品的图像处理应用程序中，默认情况下都使用高斯滤镜进行模糊处理。

高斯滤波器的另一个重要的定量性质是，它们在各处都是非负的。这很重要，因为大多数一维信号的变化约为0（），并且可以具有正值或负值。在图像的所有值均为非负数的意义上，图像是不同的（）。使用高斯核（滤波器）进行卷积可确保得到非负结果，因此此类函数会将非负值映射到其他非负值（）。因此，结果始终是另一个有效图像。 X ∈ [R + ˚F ： - [R + → [R$x \in \mathbb{R}$$x \in \mathbb{R}^+$$f: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$

通常，图像处理中的频率抑制并不像一维信号中那么关键。例如，在调制方案中，您的滤波器需要非常精确，以拒绝在不同载波频率上传输的其他信道，依此类推。我想不出什么能约束图像处理问题。

高斯滤波器用于图像处理是因为它们具有以下特性：它们在时域中的支持等于在频域中的支持。这是因为高斯是它自己的傅立叶变换。

这意味着什么？好吧，如果两个域中滤波器的支持相同，则意味着两个支持的比率均为1。事实证明，这意味着高斯滤波器具有“最小时间带宽积”。

那你可能会说什么呢？嗯，在图像处理中，一项非常重要的任务是在保持显着边缘的同时消除白噪声。这可能是一个矛盾的任务-白噪声在所有频率上均等地存在，而边缘在高频范围内。（空间信号的突然变化）。在传统的通过滤波消除噪声的过程中，信号是经过低通滤波的，这意味着信号中的高频成分会被完全消除。

但是，如果图像的边缘是高频分量，则传统的LPF也会去除它们，并且在视觉上，这表现为边缘变得更加“弄脏”。

那么，如何去除噪声却又保留高频边缘呢？输入高斯核。由于高斯的傅立叶变换也是高斯的，因此高斯滤波器在某些通带频率上没有明显的截止频率，超过该截止频率后，所有更高的频率都将被去除。取而代之的是，它具有优美自然的尾巴，随着频率的增加，尾巴变得越来越低。这意味着它将充当低通滤波器，但也允许与它的尾部衰减速度相对应的高频分量。（另一方面，LPF将具有更高的时间带宽乘积，因为它在F域中的支持几乎不像高斯人那样大）。

这样一来，您就可以兼顾两全其美-去除噪音，并保留边缘。

您已经有了很好的答案，但是我将添加2D高斯滤波器的另一个有用的属性，即它们是可分离的，即2D滤波器可以分解为两个1D滤波器。对于较大的内核，这可能是重要的性能考虑因素，因为MxN可分离的滤波器可以用M+N乘加实现，而不可分离的MxN滤波器则需要M*N乘加。

imagemagick手册很好地解释了为什么使用Sinc函数进行滤波会导致“振铃”效应，而高斯不会。（http://www.imagemagick.org/Usage/fourier/#blurring和http://www.imagemagick.org/Usage/fourier/#circle_spectrum）。当图像中有边缘（不连续）（大多数图像都具有）时，则将所有高频完全切掉会在空间域中产生纹波。当您使用一维正弦函数对方波进行滤波时，也会产生振铃。

已经有了漂亮的答案，但是我会加些盐，或者换个角度来看：

可以将最抽象的级别的过滤视为将一些先验知识应用于某些原始数据。这意味着应用某种滤波算法是在例如找到最佳信噪比之前应用此算法。

对于图像，经典先验是相对于位置的值（例如强度）的平滑度（这可以视为@Phonon提到的点扩散函数）。通常将其建模为高斯模型，因为它是在将具有已知平滑度半径的不同对象混合在一起时会获得的形状（这称为中心极限定理）。当您希望对图像进行导数处理时，这尤其有用：您应该对平滑的图像进行处理，而不是对原始信号进行微分（这会产生噪声输出）。这等效于应用类似小波的运算符，例如Gabor滤波器。