遍历过程的一个好例子是什么？

我正在尝试找到遍历过程的简单示例。您想到什么过程才能很好地说明其属性？

快速研究（Wikipedia，另一个答案）主要给出了非遍历过程的示例。另外，我想知道现实世界中哪些现象适合作为遍历过程的模型？

只是假设我给了你一系列数字，我告诉你它们是随机选择的。而且您知道我不是要欺骗您。号码为：$3$，$1$，$4$，$1$， $5$，$3$，$2$，$3$，$4$，$3$。

现在，我建议您预测下一个，或者至少要尽可能地接近。您会选择哪个号码？

[认为]

[计算]

• 我敢打赌，大多数读者可能会选择$0$到$6$之间的数字。由于跨度有限。
• 也许是整数。谁可能提出$\pi$（即使想到第一位数字）？
• 可能 $2$，$3$，或$4$。甚至$3$。

基本上，您假设我提供了一些未知规则的数字。也许您可能认为（或假设）一系列给定的数字（如果足够长）可以使您对我所想到的规则有很好的理解。如果这样做，您就认为我的思维过程是遍历的：

一个过程，其中每个序列或可观的样本均相等地代表整体（就统计参数而言）（Merriam-Webster）

在这里，没有办法确保我的系列遵循遍历过程。3432是我的卡PIN，3是一个错误（我原本是6，但我很笨拙），4、3、1和5是我经常使用的$\pi$第一位。我的下一个“数字”应该是C（十六进制）。我不认为这个过程是遍历的。每个数字都来自不同的法律。但说实话，我不知道。也许我受到一些高阶力量的驱使，这些力量驱使我遵循遍历性规则。

因此，遍历性是过程规则中某种“简单性”的假设。喜欢平稳或稀疏。用6铸造普通模具$6$面。投掷普通硬币。如果外界没有任何东西试图影响结果（一个无形的生物抓住了死者并显示了选择的面孔），那么您很可能会产生遍历过程。

恰恰是在同一秒内，您无法用无数个拇指来投掷无数枚硬币，而是每秒投掷一枚硬币，并相信最终结果大致相同。

布朗运动也具有遍历特性。

从维基百科文章：

如果可以从一个足够长的随机随机过程样本中推断出随机过程的统计特性，则认为该过程是遍历遍历的。

换句话说：时间集合统计属性与实现集合统计属性相同。

也许我们需要退后一步，讨论什么是随机过程，然后才能开始。

想象这是一个暴风雨的日子。您坐在家里，看着窗外。有时，您会看到窗户上吹着树叶。您将获得白板标记并在窗口上绘制坐标系，因此现在可以观察多个叶路径并进行比较：

因此，每条路径都是“暴风雨中的小径”随机过程的一种实现。

现在，您只需要考虑一条路径即可：打电话给一位朋友，他是一位出色的空气动力学/物理学专家，并且你们两个人推导出了一个随机模型，用于分析物体在房屋周围被炸毁的情况。原来，$y$ 请假的位置在平均 $x$。

现在，您去看看固定的 $x$位置，但平均在所有数百个叶子上。事实证明，通过仔细的数学建模，对$y$ 平均所有实现的价值与平均单个实现的价值相同 $x$。

通常很难理解非遍历的情况（这就是为什么人们更频繁地寻找此类过程的示例的原因）。

作为遍历过程的示例，让该过程 $X(t)$代表重复的硬币翻转。每次$t$，我们有一个随机变量 $X$ 可以选择 $0$ 要么 $1$。如果它是一个公平的硬币，那么总体均值是$\frac{1}{2}$ 因为这两种可能性都是相等的。

现在，如果您重复此试验很多次，例如 $N$ 然后计算平均时间 $m=\frac{X(1)+X(2)+\cdots}{N}$，那么您可以看到 $m\to \frac{1}{2}$。因此，合计平均值等于时间平均值，并且该过程是遍历遍历的。

关于您的问题的第二部分，我们可以使用遍历简化问题。例如，在整体平均值和时间平均值之间，可能很难甚至无法计算（或模拟）。但是由于我们知道（或假设）该过程是遍历遍历的（即它们是相同的），因此我们只计算一个更简单的过程即可。例如，我可以想到蒙特卡洛方法（例如用于建模通信系统的错误性能的方法），在该方法中，我们模拟发送-接收链并将其重复几次，并对结果求平均以找出关于整体属性（例如错误概率等）。