移动平均滤波器（FIR滤波器）的最佳一阶IIR（AR滤波器）近似值是多少？

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假定以下一阶IIR滤波器：

y [n] = α x [n] + (1 - α) y [n - 1]

$y[n] = \alpha x[n] + (1 - \alpha) y[n - 1]$

我如何选择参数 st IIR尽可能接近FIR，FIR是最后样本的算术平均值： $\alpha$ $k$

z [n] = \frac{1}{k} x [n] + \frac{1}{k} x [n - 1] + \dots + \frac{1}{k} x [n - k + 1]

$z[n] = \frac{1}{k}x[n] + \frac{1}{k}x[n-1] + \ldots + \frac{1}{k}x[n-k+1]$

其中，表示IIR的输入可能比，但我想对最后输入的平均值进行最佳近似。 $n \in [k, \infty)$ $k$ $k$

我知道IIR具有无限的脉冲响应，因此我正在寻找最佳近似值。无论是还是成本函数的分析解决方案，我都很高兴。 ${L}_{2}$ ${L}_{1}$

仅给出一阶IIR，如何解决此优化问题。

谢谢。

— 罗伊
source

是否必须精确地遵循 ]？

y [n] = α x [n] + (1 - α) y [n - 1]

$y[n] = \alpha x[n] + (1 - \alpha) y[n - 1]$

— 声子

1

这势必会变成非常差的近似。除了一阶IIR，您能负担得起其他什么吗？

— 2011年

您可能需要编辑问题，以免使用来表示两个不同的事物，例如，第二个显示的方程式可能为，您可能想说“尽可能好”的标准是什么，例如，您想要对于所有都尽可能小，或者对于所有都尽可能小。

y [n]

$y[n]$

z [n] = \frac{1}{k} x [n] + \dots + \frac{1}{k} x [n - k + 1]

$z[n] = \frac{1}{k}x[n] + \cdots + \frac{1}{k}x[n-k+1]$

| y [n] - z [n] |

$\vert y[n] - z[n]\vert$

n

$n$

| y [n] - z [n] |^{2}

$\vert y[n] - z[n]\vert^2$

n

$n$

— Dilip Sarwate

@Phonon，是的，它必须是一阶IIR。标准很简单，结果应该尽可能接近系统中最后输入的平均值，其中。我很高兴看到两种情况的结果。尽管我假设解析解仅对可行。

y [n]

$y[n]$

k

$k$

n \in [k, inf]

$n \in [k, \inf]$

{| y [n] - z [n] |}^{2}

${|y[n]−z[n]|}^{2}$

— 罗伊

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没有是标量的解析解决方案（我认为）。这是一个给定脚本。如果您在线需要它，则可以构建一个LUT。该脚本找到了最小化的解决方案 $\alpha$ $\alpha$ $K$

\int_{0}^{π} d w {| H_{1} (j w) - H_{2} (j w) |}^{2}

$\int_{0}^{\pi} dw \quad \left|H_1(jw) - H_2(jw)\right|^2$

其中是FIR频率响应，而是IIR频率响应。 $H_1$ $H_2$

您没有为K指定任何范围。但是，我只想说明一下，以下系统等效于您的均值滤波器，并且具有相同的计算复杂度和一阶IIR！

$H(z) = \frac{1}{K} \frac{1 - z^{-K}}{1-z^{-1}}$

function a = find_a(K)

w = 0.0001:0.001:pi;
as = [-1:0.001:-0.001  0.001:0.001:1];

E = zeros(size(as));
for idx=1:length(as)
    fJ = J(w,as(idx),K);
    E(idx) = sum(fJ);
end

[Emin, indx] = min(E)
a = as(indx)

function f = J(w,a,K)
    num = 2*(2-a)*(1-cos(w*K)) + 2*(cos(w*(K-1)) - cos(w)) - 2*(1-a)*(cos(w)-cos(w*(K+1)));
    den = (2-a)^2 + 1 + (1-a)^2 + 2*(1-a)*cos(2*w) - 2*(2-a)^2*cos(w);
    f = -(a/K)*num./den;
    f = f+(1/K^2)*(1-cos(w*K))./(1-cos(w))+a^2./(1+(1-a)^2-2*(1-a)*cos(w));
end

end

— 尼亚人
source

@Drazick这是相对简单的。IIR和FIR的两个表达式被插入到积分中。找到FIR滤波器的替代表达式的关键是识别几何级数/级数。您可以在此处找到所有详细信息：en.wikipedia.org/wiki/Geometric_progression#Geometric_series。在脚本中，J函数以整数符号计算表达式。

— niaren 2011年

@niaren我知道这是一篇旧文章，所以如果您还记得：函数'f'是如何派生的？我已经编码了类似的东西，但是对FIR（H1）和IIR（H2）使用了复杂的传递函数，然后执行sum（abs（H1-H2）** 2）。我已经将此与您的sum（fj）进行了比较，但是得到了不同的结果输出。以为我会在研究数学之前先问一下。

— 2013年

@Dom很久以前，我真的不记得了。我想我刚刚完成了。我不记得如何验证该表达式。我不介意再次通过数学……

[H_{1} (j ω) - H_{2} (j ω)] [H_{1} (- j ω) - H_{2} (- j ω)]

$[H_1(j\omega)-H_2(j\omega)][H_1(-j\omega)-H_2(-j\omega)]$

— niaren

@niaren您好，我尝试导出您的表达式，但在将复杂分数相加时陷入困境。我在代码中犯了一个错误...您的函数似乎给出与sum（abs（H1-H2）** 2）成正比的结果，表明它是正确的。

— 2013年

16

在使用微信号架构的嵌入式信号处理中，大约在第63页至第69页之间对此问题进行了很好的讨论。在第63页上，它包括精确的递归移动平均滤波器的推导（niaren在他的回答中给出），

H (z) = \frac{1}{N} \frac{1 - z^{- N}}{1 - z^{- 1}} .

$H(z) = { 1 \over{N} } { 1 - z^{-N} \over { 1 - z^{-1} } }.$

为了便于进行以下讨论，它对应于以下差分方程式：

y_{n} = y_{n - 1} + \frac{1}{N} (x_{n} - x_{n - N}) .

$y_n = y_{n-1} + {1\over{N} }(x_n - x_{n-N}).$

将滤波器放入您指定形式的近似值需要假设，因为（我从第68页引述）“是样本的平均值”。这种近似使我们可以简化前面的差分方程，如下所示： $x_{n-N} \approx y_{n-1}$ $y_{n-1}$ $x_n$

\begin{matrix} y_{n} = y_{n - 1} + \frac{1}{N} (x_{n} - y_{n - 1}) \\ y_{n} = y_{n - 1} - \frac{1}{N} y_{n - 1} + \frac{1}{N} x_{n} \\ y_{n} = (1 - \frac{1}{N}) y_{n - 1} + \frac{1}{N} x_{n} . \end{matrix}

$\begin{array}\\ y_{n} = y_{n-1} + {1\over{N}}(x_n - y_{n-1}) \\ y_{n} = y_{n-1} - {1\over{N}} y_{n-1} + {1\over{N}}x_n \\ y_{n} = (1-{1\over{N}})y_{n-1} + {1\over{N}}x_n. \end{array}$

设置，我们得到您的原始形式，这表明您想要的系数（相对于此近似值）恰好是（其中是样本数）。 $\alpha = {1\over{N}}$ $y_{n} = \alpha x_n + (1-\alpha)y_{n-1}$ $1\over{N}$ $N$

在某种程度上，这种近似值是“最佳”的吗？当然很优雅。以下是在N = 3且N增至10（蓝色近似值）时，幅度响应在[44.1kHz]下进行比较的方式：

N = 3 N = [3,10]

正如彼得的答案所暗示的那样，在最小二乘范数下，用递归滤波器近似FIR滤波器可能会有问题。一般而言，如何解决此问题的广泛讨论可以在JOS的论文《数字滤波器设计和系统识别技术及其在小提琴中的应用》中找到。他主张使用Hankel范数，但是在相位响应无关紧要的情况下，他也介绍了Kopec的方法，该方法在这种情况下可能会很好地工作（并使用范数）。在这里可以找到对本文技术的广泛概述。他们可能会得出其他有趣的近似值。 $L^2$

— datageist
source

这是一种“优雅”的方式来表达有关一阶IIR滤波器的内存的信息。它的内存等效于。我将研究您提到的其他方法。谢谢。

\frac{1}{α}

$\frac{1}{\alpha}$

— 罗伊

您能直观地解释为什么在LS规范（）下没有解决方案吗？

L_{2}

${L}_{2}$

— 罗伊

我不确定在这种情况下是否有LS解决方案，我只知道对于一般的“基于IIR的FIR近似”问题，它趋于收敛。如果有机会，我会更新瓦特/更多信息。

— datageist

好吧，如果彼得建议的成本函数（第一个）正确，那么有解决方案。至少根据我的计算。

— 罗伊

大。我很好奇看到“启发式”方法与更规范的方法相比如何。

1 / N

$1/N$

— datageist

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好，让我们尝试得出最好的结果：这样的系数为。

\begin{array}{lcl} y [n] & = & α x [n] + (1 - α) y [n - 1] \\ = & α x [n] + (1 - α) α x [n - 1] + (1 - α)^{2} y [n - 2] \\ = & α x [n] + (1 - α) α x [n - 1] + (1 - α)^{2} α x [n - 2] + (1 - α)^{3} y [n - 3] \end{array}

$\begin{array}{lcl} y[n] &=& \alpha x[n] + (1 - \alpha) y[n - 1] \\ &=& \alpha x[n] + (1 - \alpha) \alpha x[n-1] + (1 - \alpha)^2 y[n - 2]\\ &=& \alpha x[n] + (1 - \alpha) \alpha x[n-1] + (1 - \alpha)^2 \alpha x[n-2] + (1 - \alpha)^3 y[n - 3]\\ \end{array}$

x [n - m]

$x[n-m]$

α (1 - α)^{m}

$\alpha(1-\alpha)^m$

最佳均方近似值将最小化：

\begin{array}{lcl} J (α) & = & \sum_{m = 0}^{k - 1} (α (1 - α)^{m} - \frac{1}{k})^{2} + \sum_{m = k}^{\infty} α^{2} (1 - α)^{2 m} \\ = & \sum_{m = 0}^{k - 1} (α^{2} (1 - α)^{2 m} - \frac{2}{k} α (1 - α)^{m} + \frac{1}{k^{2}}) + α^{2} (1 - α)^{2 k} \sum_{m = 0}^{\infty} (1 - α)^{2 m} \\ = & α^{2} \frac{1 - (1 - α)^{2 k}}{1 - (1 - α)^{2}} + \frac{2 α}{k} \frac{1 - (1 - α)^{k}}{1 - (1 - α)} + \frac{α^{2} (1 - α)^{2 k}}{1 - (1 - α)^{2}} + \frac{1}{k} \\ = & \frac{α^{2}}{1 - (1 - α)^{2}} + \frac{2}{k} (1 - (1 - α)^{k}) + \frac{1}{k} \\ = & \frac{α^{2}}{2 α - α^{2}} + \frac{2}{k} (1 - (1 - α)^{k}) + \frac{1}{k} \\ = & \frac{α}{2 - α} + \frac{2}{k} (1 - (1 - α)^{k}) + \frac{1}{k} \end{array}

$\begin{array}{lcl} J(\alpha) &=& \sum_{m=0}^{k-1} (\alpha(1-\alpha)^m - \frac{1}{k})^2 + \sum_{m=k}^\infty \alpha^2(1-\alpha)^{2m}\\ &=& \sum_{m=0}^{k-1} \left(\alpha^2(1-\alpha)^{2m} - \frac{2}{k}\alpha(1-\alpha)^m + \frac{1}{k^2}\right) + \alpha^2 (1-\alpha)^{2k} \sum_{m=0}^\infty (1-\alpha)^{2m} \\ &=& \alpha^2\frac{1- (1-\alpha)^{2k}}{1 - (1-\alpha)^2} + \frac{2\alpha}{k} \frac{1 - (1 - \alpha)^k}{1 - (1 - \alpha)} + \frac{\alpha^2(1-\alpha)^{2k}}{1 - (1 - \alpha)^2}+ \frac{1}{k}\\ &=& \frac{\alpha^2}{1 - (1 - \alpha)^2} + \frac{2}{k} (1-(1-\alpha)^k) + \frac{1}{k}\\ &=& \frac{\alpha^2}{2\alpha - \alpha^2 }+ \frac{2}{k} (1-(1-\alpha)^k)+ \frac{1}{k}\\ &=& \frac{\alpha}{2 - \alpha }+ \frac{2}{k} (1-(1-\alpha)^k)+ \frac{1}{k}\\ \end{array}$ 因为当 FIR系数为零。

m > k - 1

$m > k - 1$

下一步是求导数并等于零。

纵观衍生的情节为和从0到1，它看起来像这个问题（因为我已经将它设置）是病态的，因为最好的答案是。 $J$ $K = 1000$ $\alpha$ $\alpha = 0$

在此处输入图片说明

我认为这是一个错误。根据我的计算应该是这样的：

\begin{array}{lcl} J (α) & = & \sum_{m = 0}^{k - 1} (α (1 - α)^{m} - \frac{1}{k})^{2} + \sum_{m = k}^{\infty} α^{2} (1 - α)^{2 m} \\ = & \sum_{m = 0}^{k - 1} (α^{2} (1 - α)^{2 m} - \frac{2}{k} α (1 - α)^{m} + \frac{1}{k^{2}}) + α^{2} (1 - α)^{2 k} \sum_{m = 0}^{\infty} (1 - α)^{2 m} \\ = & α^{2} \frac{1 - (1 - α)^{2 k}}{1 - (1 - α)^{2}} - \frac{2 α}{k} \frac{1 - (1 - α)^{k}}{1 - (1 - α)} + \frac{1}{k} + \frac{α^{2} (1 - α)^{2 k}}{1 - (1 - α)^{2}} \end{array}

$\begin{array}{lcl} J(\alpha) &=& \sum_{m=0}^{k-1} (\alpha(1-\alpha)^m - \frac{1}{k})^2 + \sum_{m=k}^\infty \alpha^2(1-\alpha)^{2m} \\ &=& \sum_{m=0}^{k-1} \left(\alpha^2(1-\alpha)^{2m} - \frac{2}{k}\alpha(1-\alpha)^m + \frac{1}{k^2}\right) + \alpha^2 (1-\alpha)^{2k} \sum_{m=0}^\infty (1-\alpha)^{2m} \\ &=& \alpha^2\frac{1- (1-\alpha)^{2k}}{1 - (1-\alpha)^2} - \frac{2\alpha}{k} \frac{1 - (1 - \alpha)^k}{1 - (1 - \alpha)} + \frac{1}{k} + \frac{\alpha^2(1-\alpha)^{2k}}{1 - (1 - \alpha)^2} \end{array}$

根据Mathematica的结果进行简化：

J (α) = \frac{α}{2 - α} + \frac{2 {(1 - α)}^{k} - 1}{k}

$J(\alpha) = \frac{\alpha}{2 - \alpha} + \frac{2 {(1 - \alpha)}^{k} -1}{k}$

在MATLAB上使用以下代码会产生相同的效果，尽管有所不同：

syms a k;

expr1 = (a ^ 2) * ((1 - ((1 - a) ^ (2 * k))) / (1 - ((1 - a) ^ 2)));
expr2 = ((2 * a) / k) * ((1 - ((1 - a) ^ (k))) / (1 - (1 - a)));
expr3 = (1 / k);
expr4 = ((a ^ 2) * ((1 - a) ^ (2 * k))) / (1 - ((1 - a) ^ (2)));

simpExpr = simplify(expr1 - expr2 + expr3 + expr4);

J (α) = \frac{- 2}{α - 2} - \frac{k - 2 {(1 - α)}^{k} + 1}{k}

$J(\alpha) = \frac{-2}{\alpha - 2} - \frac{k - 2{(1 - \alpha)}^{k} + 1}{k}$

无论如何，这些功能确实具有最低限度。

因此，假设我们真的只关心FIR滤波器的支持（长度）上的近似值。在那种情况下，优化问题就是：

J_{2} (α) = \sum_{m = 0}^{k - 1} (α (1 - α)^{m} - \frac{1}{k})^{2}

$J_2(\alpha) = \sum_{m=0}^{k-1} (\alpha(1-\alpha)^m - \frac{1}{k})^2$

绘图为各种值与导致在曲线图和表下方的日期。 $J_2(\alpha)$ $K$ $\alpha$

对于 =8。 = 0.1533333 对于 =16。 = 0.08 对于 =24。 = 0.0533333 对于 =32。 = 0.04 对于 =40。 = 0.0333333 对于 =48。 = 0.0266667 对于 =56。 = 0.0233333 对于 = 64。 $K$ $\alpha_{\tt min}$
$K$ $\alpha_{\tt min}$
$K$ $\alpha_{\tt min}$
$K$ $\alpha_{\tt min}$
$K$ $\alpha_{\tt min}$
$K$ $\alpha_{\tt min}$
$K$ $\alpha_{\tt min}$
$K$ $\alpha_{\tt min}$ = 0.02
对于 =72。 = 0.0166667 $K$ $\alpha_{\tt min}$

在此处输入图片说明

红色虚线是，绿色虚线是，这是使最小的值（从选择[）。 $1/K$ $\alpha_{\tt min}$ $\alpha$ $J_2(\alpha)$ $\tt alpha = [0:.01:1]/3;$

— 彼得·K。
source

1

只是要发布完全相同的东西=）

— 声子

@Phonon：请继续！为此，我将其标记为社区Wiki。

— Peter K.

导数wrt是一个具有无限数量项（即不是多项式）的级数，您必须将其设置为等于，然后求解，因此需要谨慎（或近似）。

α

$\alpha$

0

$0$

α

$\alpha$

— Dilip Sarwate，

有人可以检查和/或纠正我的工作吗？:-)

— Peter K.

@DilipSarwate，什么是最好的近似值？谢谢。

— 罗伊

3

基于与实验测试k中范围（2到100）的最佳拟合（误差平方和）给出的关系alfa = 1/k^0.865 是k采样数为MovAvg滤波器

— chiliwili69
source

我使用了一个交互式Excel工作表来提取该关系： drive.google.com/open?

— id=0B48gEYiKwYegY3NqQThMTTZ1OG8

3

我偶然发现了这个老问题，我想分享我的解决方案。如其他答案中所述，没有解析解，但是要最小化的函数表现良好，并且可以通过几次牛顿迭代轻松找到的最佳值。还有一个公式可以检查结果的最优性。 $\alpha$

长度为 FIR移动平均滤波器的脉冲响应由下式给出 $N$

\begin{matrix} (1) & h_{F I R} [n] = \frac{1}{N} (u [n] - u [n - N]) \end{matrix}

$h_{FIR}[n]=\frac{1}{N}(u[n]-u[n-N])\tag{1}$

其中是单位步长函数。一阶IIR滤波器 $u[n]$

\begin{matrix} (2) & y [n] = α x [n] + (1 - α) y [n - 1] \end{matrix}

$y[n]=\alpha x[n]+(1-\alpha)y[n-1]\tag{2}$

有冲动的反应

\begin{matrix} (3) & h_{I I R} [n] = α (1 - α)^{n} u [n] \end{matrix}

$h_{IIR}[n]=\alpha(1-\alpha)^nu[n]\tag{3}$

现在的目标是最小化平方误差

\begin{matrix} (4) & ϵ = \sum_{n = 0}^{\infty} {(h_{F I R} [n] - h_{I I R} [n])}^{2} \end{matrix}

$\epsilon=\sum_{n=0}^{\infty}\left(h_{FIR}[n]-h_{IIR}[n]\right)^2\tag{4}$

使用和，错误可以写成 $(1)$ $(3)$

\begin{aligned} ϵ (α) & = \sum_{n = 0}^{N - 1} {(α (1 - α)^{n} - \frac{1}{N})}^{2} + \sum_{n = N}^{\infty} α^{2} (1 - α)^{2 n} \\ = α^{2} \sum_{n = 0}^{\infty} (1 - α)^{2 n} - \frac{2 α}{N} \sum_{n = 0}^{N - 1} (1 - α)^{n} + \sum_{n = 0}^{N - 1} \frac{1}{N^{2}} \\ = \frac{α^{2}}{1 - (1 - α)^{2}} - \frac{2 α}{N} \frac{1 - (1 - α)^{N}}{1 - (1 - α)} + \frac{1}{N} \\ (5) & = \frac{α}{2 - α} - \frac{2}{N} (1 - (1 - α)^{N}) + \frac{1}{N}, 0 < α < 2 \end{aligned}

$\begin{align}\epsilon(\alpha)&=\sum_{n=0}^{N-1}\left(\alpha(1-\alpha)^n-\frac{1}{N}\right)^2+\sum_{n=N}^{\infty}\alpha^2(1-\alpha)^{2n}\\&=\alpha^2\sum_{n=0}^{\infty}(1-\alpha)^{2n}-\frac{2\alpha}{N}\sum_{n=0}^{N-1}(1-\alpha)^n+\sum_{n=0}^{N-1}\frac{1}{N^2}\\&=\frac{\alpha^2}{1-(1-\alpha)^2}-\frac{2\alpha}{N}\frac{1-(1-\alpha)^N}{1-(1-\alpha)}+\frac{1}{N}\\&=\frac{\alpha}{2-\alpha}-\frac{2}{N}\left(1-(1-\alpha)^N\right)+\frac{1}{N},\qquad 0<\alpha<2\tag{5}\end{align}$

此表达式与该答案中给出的表达式非常相似，但并不完全相同。上的限制在可以确保无限和收敛，这是与用于由下式给出的IIR滤波器的稳定性条件。 $\alpha$ $(5)$ $(2)$

将的导数设置为零会导致 $(5)$

\begin{matrix} (6) & (1 - α)^{N - 1} (2 - α)^{2} = 1 \end{matrix}

$(1-\alpha)^{N-1}(2-\alpha)^2=1\tag{6}$

请注意，最佳必须在间隔因为较大的值会导致交替的脉冲响应，这不能近似于FIR移动平均滤波器的恒定脉冲响应。 $\alpha$ $(0,1]$ $\alpha$ $(3)$

取平方根并引入，我们得到 $(6)$ $\beta=1-\alpha$

\begin{matrix} (7) & β^{(N + 1) / 2} + β^{(N - 1) / 2} - 1 = 0 \end{matrix}

$\beta^{(N+1)/2}+\beta^{(N-1)/2}-1=0\tag{7}$

该方程无法通过解析地求解，但可以通过来求解： $\beta$ $N$

\begin{matrix} (8) & N = - 2 \frac{\log (1 + β)}{\log (β)}, β \neq 0 \end{matrix}

$N=-2\frac{\log(1+\beta)}{\log(\beta)},\qquad \beta\neq 0\tag{8}$

公式可用于仔细检查的数值解；它必须返回的指定值。 $(8)$ $(7)$ $N$

可以使用几行（Matlab / Octave）代码求解方程式： $(7)$

N = 50；FIR移动平均滤波器所需滤波器长度的百分比

if（N == 1）％对于小情况无迭代
    b = 0;
其他
    牛顿迭代百分比
    b = 1；起始值％
    尼特= 7;
    n =（N + 1）/ 2;
    对于k = 1：Nit
        f = b ^ n + b ^（n-1）-1;
        fp = n * b ^（n-1）+（n-1）* b ^（n-2）;
        b = b-f / fp;
    结束

    检查结果百分比
    N0 = -2 * log（1 + b）/ log（b）+1％必须等于N
结束

a = 1-b;

下表是针对一定范围的过滤器长度的最佳值的表： $\alpha$ $N$

   Nα

   1 1.0000e + 00
   2 5.3443e-01
   3 3.8197e-01
   4 2.9839e-01
   5 2.4512e-01
   6 2.0809e-01
   7 1.8083e-01
   8 1.5990e-01
   9 1.4333e-01
  10 1.2987e-01
  20 6.7023e-02
  30 4.5175e-02
  40 3.4071e-02
  50 2.7349e-02
  60 2.2842e-02
  70 1.9611e-02
  80 1.7180e-02
  90 1.5286e-02
 100 1.3768e-02
 200 6.9076e-03 
 300 4.6103e-03
 400 3.4597e-03
 500 2.7688e-03
 600 2.3078e-03
 700 1.9785e-03
 800 1.7314e-03
 900 1.5391e-03
1000 1.3853e-03

— 马特·L。
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