协方差与自相关

我试图弄清楚这些概念之间是否存在直接关系。从定义严格来说，它们通常看起来是不同的概念。但是，我想得越多，他们就越相似。

令为WSS随机向量。协方差由，其中代表矢量的埃尔米特式。$X,Y$$C_{XY}$

$$C_{XY}=E\left[(X-\mu_x)(Y-\mu_y)^H\right]$$ $H$

令为WSS随机向量。自相关函数由$Z$$R_{XX}$

$$R_{ZZ}(\tau)=E\left[\left(Z(n)-\mu_z\right)\left(Z(n+\tau)-\mu_z\right)^H\right]$$

编辑说明此定义已应用于信号处理的更正，请参见下面的Matt's Answer。

协方差不涉及时间概念，它假设随机向量的每个元素都是某个随机生成器的不同实现。自相关假设随机向量是某个初始随机发生器的时间演化。但最后，它们都是相同的数学实体，是一个数字序列。如果让出现，那么它似乎是我还有更微妙的东西吗？$X=Y=Z$

$$C_{XY}=R_{ZZ}$$

根据您对自相关的定义，自相关只是两个随机变量和的协方差。此函数也称为自协方差。Z （n + τ $Z(n)$$Z(n+\tau)$

顺便说一句，在信号处理中，自相关通常定义为

$$R_{XX}(t_1,t_2)=E\{X(t_1)X^*(t_2)\}$$

即，不减去平均值。自协方差为

$$C_{XX}(t_1,t_2)=E\{[X(t_1)-\mu_X(t_1)][X^*(t_2)-\mu^*_X(t_2)]\}$$

这两个功能通过

$$C_{XX}(t_1,t_2)=R_{XX}(t_1,t_2)-\mu_X(t_1)\mu^*_X(t_2)$$

请注意，您的自相关定义如何包含一个附加项，它指定了两个数字Z （n ）和Z （n + τ ）序列的偏移量。实际上，符号表明ř Ž Ž（τ ）为任何限定的连续函数τ ＆Element; [R +，而Ç X ý是一个标量。$\tau$$Z(n)$$Z(n+\tau)$$R_{ZZ}(\tau)$$\tau \in \mathbb{R}^+$$C_{XY}$

如前所述，如果让，则意味着τ = 0，这是R Z Z（τ ）的一种特殊情况。$X=Y=Z$$\tau = 0$$R_{ZZ}(\tau)$

以我的个人经验（天体物理学，各种传感器处理），协方差被用作检查两个数据集相似性的系数，而自相关被用来表征相关距离，即数据演变为另一个数据的速度。完全。