Questions tagged «proof»

我试图弄清楚这些概念之间是否存在直接关系。从定义严格来说，它们通常看起来是不同的概念。但是，我想得越多，他们就越相似。 令为WSS随机向量。协方差由，其中代表矢量的埃尔米特式。X，YX，ÿX,YCXÿCXÿC_{XY}CXÿ= E[（X- μX）（是- μÿ）H]CXÿ=Ë[（X-μX）（ÿ-μÿ）H]C_{XY}=E\left[(X-\mu_x)(Y-\mu_y)^H\right]HHH 令为WSS随机向量。自相关函数由žžZ[RXX[RXXR_{XX}[Ržž（τ）= E[ （Z（Ñ ）- μž）（Z（n + τ）- μž）H][Ržž（τ）=Ë[（ž（ñ）-μž）（ž（ñ+τ）-μž）H]R_{ZZ}(\tau)=E\left[\left(Z(n)-\mu_z\right)\left(Z(n+\tau)-\mu_z\right)^H\right] 编辑说明此定义已应用于信号处理的更正，请参见下面的Matt's Answer。 协方差不涉及时间概念，它假设随机向量的每个元素都是某个随机生成器的不同实现。自相关假设随机向量是某个初始随机发生器的时间演化。但最后，它们都是相同的数学实体，是一个数字序列。如果让出现，那么它似乎是我还有更微妙的东西吗？X= Y= ZX=ÿ=žX=Y=ZCXÿ= RžžCXÿ=[RžžC_{XY}=R_{ZZ}

13 autocorrelation  covariance  proof 

这个问题与我的另一个问题有关，在这个问题中，我要求导出单位步长序列的离散时间傅立叶变换（DTFT）。在搜寻导数期间，我发现了一个非常简单的导数。我在BA Shenoi 的这本书的第138页上第一次看到它。在这个答案中，我也在math.SE上也遇到了。u[n]u[n]u[n] 由于参数简短而简单，为方便起见，我将在此重复。 单位步长序列可以写为 其中 显然， 在两面都应用DTFT 给出 ，其中是的DTFT 。从得到 从和我们得到的DTFT。u[n]=f[n]+12(1)(1)u[n]=f[n]+12u[n]=f[n]+\frac12\tag{1}f[n]={12,n≥0−12,n&lt;0(2)(2)f[n]={12,n≥0−12,n&lt;0f[n]=\begin{cases}\frac12,\quad n\ge 0\\-\frac12,\quad n<0\end{cases}\tag{2}f[n]−f[n−1]=δ[n](3)(3)f[n]−f[n−1]=δ[n]f[n]-f[n-1]=\delta[n]\tag{3}(3)(3)(3)F（ω ）（ 1 − e- Ĵ ω） =1（4）（4）F（ω）（1个-Ë-Ĵω）=1个F(\omega)\left(1-e^{-j\omega}\right)=1\tag{4}F(ω)F(ω)F(\omega)f[n]f[n]f[n](4)(4)(4)F(ω)=11−e−jω(5)(5)F(ω)=11−e−jωF(\omega)=\frac{1}{1-e^{-j\omega}}\tag{5}(5)(5)(5)(1)(1)(1)u[n]u[n]u[n] U(ω)=F(ω)+πδ(ω)=11−e−jω+πδ(ω),−π≤ω&lt;π(6)(6)U(ω)=F(ω)+πδ(ω)=11−e−jω+πδ(ω),−π≤ω&lt;πU(\omega)=F(\omega)+\pi\delta(\omega)=\frac{1}{1-e^{-j\omega}}+\pi\delta(\omega),\quad -\pi\le\omega <\pi\tag{6} ，其中我曾使用，-\ pi \ le \ omega &lt;\ PI。DTFT{1}=2πδ(ω)DTFT{1}=2πδ(ω)\text{DTFT}\{1\}=2\pi\delta(\omega)−π≤ω&lt;π−π≤ω&lt;π-\pi\le\omega <\pi 等式 (6)(6)(6)对于u [n]的DTFT u[n]u[n]u[n]无疑是正确的。但是，推导是有缺陷的。 问题是：找到并解释以上推导中的缺陷。 请在答案前加上扰流器标签&gt;!。

11 discrete-signals  fourier-transform  dtft  proof  dsp-puzzle 

从教科书中，我们知道的DTFT 由u[n]u[n]u[n] U(ω)=πδ(ω)+11−e−jω,−π≤ω&lt;π(1)(1)U(ω)=πδ(ω)+11−e−jω,−π≤ω&lt;πU(\omega)=\pi\delta(\omega)+\frac{1}{1-e^{-j\omega}},\qquad -\pi\le\omega <\pi\tag{1} 但是，我还没有看到DSP教科书至少假装给出或多或少的声音。(1)(1)(1) Proakis [1] 通过在的 -transform中设置来导出右侧的右半边，并说这是有效的除外（这当然是正确的）。然后他说，在变换的极点，我们必须添加一个面积为的增量冲量，但对我而言，这似乎更像是一个秘方。(1)(1)(1)z=ejωz=ejωz=e^{j\omega}ZZ\mathcal{Z}u[n]u[n]u[n]ω=2πkω=2πk\omega=2\pi kZZ\mathcal{Z}ππ\pi 在这种情况下，Oppenheim和Schafer [2]提到了 尽管显示起来并不完全简单，但是可以通过以下傅立叶变换来表示此序列： 其后是等于的公式。不幸的是，他们没有费力向我们展示“并非完全简单”的证明。(1)(1)(1) 一本书，我竟然不知道，但在寻找的证据时，我发现是介绍数字信号处理和滤波器设计由BA Shenoi。在第138页上，存在的“派生” ，但不幸的是，这是错误的。我问了一个“ DSP难题”问题，让人们展示该证明有什么问题。](1)(1)(1)(1)(1)(1) 所以我的问题是： 任何人都可以提供的证明/推论，该证明是可靠的甚至严谨的，但数学上倾向于工程师可以访问？只是从书中复制并不重要。我认为将它放在此站点上将是很好的。(1)(1)(1) 请注意，即使在math.SE上，也几乎找不到任何相关的问题：这个问题没有答案，一个答案有两个，其中一个是错误的（与Shenoi的说法相同），另一个是使用“累积属性” ，我会很满意，但是接下来需要证明该属性，这使您重新开始（因为这两个证明基本上都证明了同一件事）。 最后一点，我确实提出了类似证明的内容（嗯，我是一名工程师），并且从现在开始几天后我也会将其发布为答案，但是我很乐意收集其他已发布或未发布的证明简单而优雅，最重要的是，DSP工程师可以使用它们。 PS：我毫不怀疑的有效性，我只想看一个或几个相对简单的证明。(1)(1)(1) [1] Proakis，JG和DG Manolakis，《数字信号处理：原理，算法和应用》，第三版，第4.2.8节。 [2] Oppenheim，AV和RW Schafer，《离散时间信号处理》，第二版，第2页。54。 受马库斯·穆勒评论的启发，我想证明方程式E给出的。满足要求U(ω)U(ω)U(\omega)(1)(1)(1) u[n]=u2[n]→U(ω)=12π(U⋆U)(ω)u[n]=u2[n]→U(ω)=12π(U⋆U)(ω)u[n]=u^2[n]\rightarrow U(\omega)=\frac{1}{2\pi}(U\star U)(\omega) 如果是的DTFT ，则U(ω)U(ω)U(\omega)u[n]u[n]u[n] V(ω)=11−e−jωV(ω)=11−e−jωV(\omega)=\frac{1}{1-e^{-j\omega}} 必须是DTFT的 v[n]=12sign[n]v[n]=12sign[n]v[n]=\frac12\text{sign}[n] （我们在其中定义），因为sign[0]=1sign[0]=1\text{sign}[0]=1 V(ω)=U(ω)−πδ(ω)⟺u[n]−12=12sign[n]V(ω)=U(ω)−πδ(ω)⟺u[n]−12=12sign[n]V(\omega)=U(\omega)-\pi\delta(\omega)\Longleftrightarrow u[n]-\frac12=\frac12\text{sign}[n] 所以我们有 12π(V⋆V)(ω)⟺(12sign[n])2=1412π(V⋆V)(ω)⟺(12sign[n])2=14\frac{1}{2\pi}(V\star V)(\omega)\Longleftrightarrow \left(\frac12\text{sign}[n]\right)^2=\frac14 从中得出 12π(V⋆V)(ω)=DTFT{14}=π2δ(ω)12π(V⋆V)(ω)=DTFT{14}=π2δ(ω)\frac{1}{2\pi}(V\star V)(\omega)=\text{DTFT}\left\{\frac14\right\}=\frac{\pi}{2}\delta(\omega) …

10 discrete-signals  fourier-transform  dtft  proof