为什么这种莫尔图案看起来像这样？

我在Matlab中制作了Mobius转换的gif文件，并且一些奇怪的图案开始出现。我不确定是否需要对文件类型/算法有更深入的了解才能理解这种现象，但是我认为可能存在纯粹的数学解释。通过像棋盘一样给复杂平面着色，然后通过获取复杂共轭的倒数来反转图像来获得图像。这是给定缩放的图像的数学伪码$k$：

$$\begin{align} &\mbox{checkerboard}:\mathbb C \to\{\mbox{black},\mbox{white}\}\\ &\mbox{checkerboard}(z):=\begin{cases} \mbox{black} & \mbox{if }\lfloor\Im(z)\rfloor+\lfloor\Re(z)\rfloor\equiv 0\mod 2\\ \mbox{white} & \mbox{if }\lfloor\Im(z)\rfloor+\lfloor\Re(z)\rfloor\equiv 1\mod 2 \end{cases}\\ &\mbox{image} = \{z\in\mathbb C:|\Re(z)|,|\Im(z)|\leq 1\}\\ &\mbox{color}:\mbox{image}\to\{\mbox{black},\mbox{white}\}\\ &\mbox{color}(z):=\mbox{checkerboard}(k/\overline{z}) \end{align}$$

这是，k = 50和k = 200的图片。每张图片的分辨率为1000 \ 1000。我没有信号处理方面的背景知识，但是我很想学习！k = 50 k = 200 1000 × $k=1$$k=50$$k=200$$1000\times 1000$

编辑：

• 更具体地说，为什么摩尔纹图案在某些点上与图片的分辨率“同步”？
• 莫尔纹可以预测吗？

您需要了解采样定理。简而言之，每个信号都有一个频谱 ¹，它是信号在时域（如果是时间信号）出现时的傅立叶变换，或者是空间域（如果是图片）出现的傅立叶变换。如果是双射的，则信号及其变换是等效的；实际上，人们常常可以将傅立叶变换解释为基础的变化，我们称其为“到频域的转换”，因为低纵坐标的傅立叶变换的值描述了缓慢变化的事物在原始（时域或空间）域信号中，高频内容由具有较高位置的傅立叶变换值表示。

通常，这样的光谱可以有一定的支持；支持是最小间隔，频谱在该间隔之外为0。

如果您现在使用的是一个观测系统，其再现频率的能力限于一个小于所述支持的间隔（顺便说一下，通常是无限的，并且对于在时间或空间上具有有限扩展的信号始终是无限的），无法代表该系统的原始信号。

在这种情况下，您的图片具有一定的分辨率-最终，您将以固定的非无限小间距在离散点上评估函数的值。该间隔的倒数是（空间）采样率。

因此，您的图片无法代表原始信号-从数学上讲，底层函数到像素的映射真正等同于原始函数是不可能的，因为我们知道在这种情况下，您的离散点估计可表示的总频率范围（“采样”）是采样率的一半，因此，信号频谱中高于采样率一半的部分必定会出错。

实际上，实际上会发生频谱 –频率为每个频谱分量都被“下移”了，因此。实际上，这导致“结构”中不应有的感觉。$f_o \ge \frac{f_\text{sample}}{2}$$n\cdot f_\text{sample},\, n\in \mathbb Z$$|f_o-nf_\text{sample}| < \frac{f_\text{sample}}{2}$

从我涂成绿色的图片中获取“大”结构：

当然这里似乎有低频内容-但实际上，频率处的高频内容只是混叠了低频，因为它接近于采样率的整数倍。$>\frac{f_\text{sample}}2$

因此，是的，您可以通过将2D信号的傅里叶变换与采样率提供的带宽进行比较，来预测2D信号发生时出现的伪像。

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¹这可能不同于线性代数中用来描述算符本征特性的频谱。