傅立叶变换恒等式

我们知道以下内容

$$\mathscr{F}\big\{x(t)\big\}=X(f) \tag{1}$$ $$\mathscr{F}\big\{x(-t)\big\}=X(-f) \tag{2}$$ $$\mathscr{F}\big\{x^*(t)\big\}=X^*(-f) \tag{3}$$

现在，如果有信号

$$x(-t)=x^*(t) \tag{4}$$

那么，可以安全地假设以下内容吗？

$$X(-f)=X^*(-f) \tag{5}$$

还是取决于信号的类型？

你是对的。您的最后一个方程只是说是实际值的一种幻想方法。$X(f)$

通常，如果在一个域中是真实的，则在另一个域中是共轭对称的。

是的，如果等式。（2）和（3）对于任何“信号类型”（它们所做的）均成立，则（5）必须成立。

插入（4）代入（2），我们得到 和使用（3） X （- ˚F ）= X *（- ˚F

$$\mathscr{F}\big\{x^*(t)\big\} = X(-f)$$ $$X(-f) = X^*(-f)$$

$f = - g$

$$X(g) = X^*(g)$$ $X(f)$$x(t)$

@Deve和@Hilmar的答案在技术上是完美的。我想提供一些其他问题的其他见解。

首先，您是否知道满足此逆时/共轭标识的信号：

$$x(−t)=x^*(t)\,?$$

第一个显而易见的想法是在实信号和对称信号之间进行选择。傅里叶框架中自然的是余弦。

现在，让我们变得更复杂一些（双关语）。

$i^*=-i$$t\to i.\sin t$

$$t\to e^{i t}$$

（称为复指数或顺式）也是一个解决方案。它的傅里叶变换（作为广义函数）确实是真实的（尽管以某种方式是“无限的”）。更进一步，任何具有实系数的类固醇线性组合都可以做到。

您的问题说明了傅里叶对偶的重要性，以及如何使用它可以简化某些问题。如DTFT的SYMMETRY实信号中所示：

$x(n)$

$x$$t$$f$

它也被称为海塞尔开瓶器/螺旋形。