选择傅立叶变换的约定和符号?


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我在大学里学到的傅立叶变换和傅立叶逆变换的定义是

FĴω=-FŤË-ĴωŤ dŤ
FŤ=1个2π-FĴωËĴωŤdω

该公约的主要特点是

  • 非单位变换;频域单位为弧度(变量为ω
  • “时域”单位为时间(变量为)Ť
  • 函数转换用大写字母表示(与)˚FFF
  • 所述在严格表示该函数是一个傅立叶变换˚F Ĵ ω ĴFĴω
  • 当然,通常的EE约定。Ĵ=-1个

如今,我使用了非常不同的约定,本质上是在维基百科上使用的约定 :

˚FX=∫- ˚FξëĴ2πξXdξ

F^ξ=-FXË-Ĵ2πξXdX
FX=-F^ξËĴ2πξXdξ
此约定的特征是
  • ary变换 频域单位是归一化频率(变量为)ξ
  • “时域”单位是无单位的(变量为)X
  • 函数转换戴帽子(与) ˚FF^F
  • 希腊字母中的变量表示拉丁字母中的转换变量(与)XξX

由于几个原因,我非常喜欢此约定。

  1. 使用单一约定会大大提高傅立叶对偶的对称性和清晰度:比较
    • [RËCŤXs一世ñCξ
    • s一世ñCX[RËCŤξ
    • [RËCŤŤs一世ñCω2π
    • s一世ñCŤ[RËCŤω2π
  2. 对“时域”变量使用而不是可以使方程式与人的问题域无关。这使得根据1D信号处理概念对2D图像处理概念进行模拟变得更加容易,而无需使用作为表示距离的变量或从一个域到另一个域时必须更改周围变量 的认知上的不协调。Ť ŤXŤŤ
  3. 我发现大写字母对表示离散值变量/函数比对表示转换后的函数更有用。
  4. 使用帽子更清楚地表示傅立叶变换作为操作者施加到,其中所得的函数接受的频域参数。与此相比,则要费劲得多,这是我在大学里学到的将“傅立叶变换”表示为运算符的“传统”方式,这在我看来似乎太令人困惑了(与 与等)FξF{F}FFŤF{F}ŤF{F}ω
  5. 我通常发现与弧度做信号处理分析只是撒了很多 S周围比我觉得有必要。使用归一化频率的单位使得很多我更有意义,通过涉及抽样理论问题的工作时尤为如此。π

当然,认为我选择的约定优于其他约定对我来说是徒劳的 。但是我很难提出充分的理由来偏爱我最初在大学里学到的约定(即不涉及传统的原因)。

目前,我可以想到一个偏爱“传统”约定的正当理由:使用非unit 变换和参数表示法,可以极大地提高与Laplace变换在概念上的一致性 。同样,帽子可能比大写字母更容易丢失/混淆。FĴω

有人可以考虑其他理由来偏爱“传统”(非单一)约定吗?这个“传统”惯例与您学到的信号处理课程(如果您修过一门课程)一样吗?喜欢哪种惯例?


4
征求个人意见的问题对该网站并没有真正的建设性意义。答案是,只要您正确地定义了约定,并且在许多情况下始终如一地使用它并坚持使用您所在领域的通用符号,那么约定实际上就没有关系。重要的是不要故意发明疯狂的新符号。我不确定个人喜好和观点在这方面有什么用处……
Lorem Ipsum

3
我可以理解避免单纯发表意见的愿望,但是我确实认为,对于传统约定为何如此,这是一个合理的问题:将传统约定定义为历史事故是不太可能的。我愿意重写这个问题,以避免征求意见,并将重点放在信号处理文献中这些约定/符号的决定是如何首先产生的问题上。
rtollert 2011年

3
您忘记将所有2π替换为τ。:D
endolith

1
@endolith您击败了我:)
datageist

2
XŤXFXω

Answers:


1

约定的选择应该是您要与之交流的对象最合适(或最熟悉)的一种。


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关于对信号使用x(t)的一件事是

  • ÿ=X2

  • ÿŤ=XŤ2

其中x仍然是输入,y仍然是输出,只是在这种情况下,它们是信号而不是数字。

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