选择傅立叶变换的约定和符号？

我在大学里学到的傅立叶变换和傅立叶逆变换的定义是

$$F(j\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t}\ dt$$ $$f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(j\omega)e^{j\omega t} d\omega$$

该公约的主要特点是

• 非单位变换；频域单位为弧度（变量为$\omega$）
• “时域”单位为时间（变量为）$t$
• 函数转换用大写字母表示（与）$F$$f$
• 所述在严格表示该函数是一个傅立叶变换˚F （Ĵ ω $j$$F(j\omega)$
• 当然，通常的EE约定。$j=\sqrt{-1}$

如今，我使用了非常不同的约定，本质上是在维基百科上使用的约定 ：

˚F（X）=＆Integral; ∞ - ∞ ˚F（ξ）ëĴ2πξXd

$$\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-j2\pi\xi x}dx$$ $$f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\xi) e^{j2\pi\xi x} d\xi$$ 此约定的特征是

• ary变换 频域单位是归一化频率（变量为）$\xi$
• “时域”单位是无单位的（变量为）$x$
• 函数转换戴帽子（与）$\hat{f}$$f$
• 希腊字母中的变量表示拉丁字母中的转换变量（与）$\xi$$x$

由于几个原因，我非常喜欢此约定。

1. 使用单一约定会大大提高傅立叶对偶的对称性和清晰度：比较
   • $\mathrm{rect}(x)\leftrightarrow\mathrm{sinc}(\xi)$，
   • $\mathrm{sinc}(x)\leftrightarrow\mathrm{rect}(\xi)$到
   • $\mathrm{rect}(t)\leftrightarrow\mathrm{sinc}(\frac{\omega}{2\pi})$，
   • $\mathrm{sinc}(t)\leftrightarrow\mathrm{rect}(\frac{\omega}{2\pi})$。
2. 对“时域”变量使用而不是可以使方程式与人的问题域无关。这使得根据1D信号处理概念对2D图像处理概念进行模拟变得更加容易，而无需使用作为表示距离的变量或从一个域到另一个域时必须更改周围变量 的认知上的不协调。Ť $x$$t$$t$
3. 我发现大写字母对表示离散值变量/函数比对表示转换后的函数更有用。
4. 使用帽子更清楚地表示傅立叶变换作为操作者被 施加到，其中所得的函数接受的频域参数。与此相比，则要费劲得多，这是我在大学里学到的将“傅立叶变换”表示为运算符的“传统”方式，这在我看来似乎太令人困惑了（与 与等）$f$$\xi$$\mathcal{F}\{f\}$$\mathcal{F}{f(t)}$$\mathcal{F}\{f\}(t)$$\mathcal{F}\{f\}(\omega)$
5. 我通常发现与弧度做信号处理分析只是撒了很多 S周围比我觉得有必要。使用归一化频率的单位使得很多我更有意义，通过涉及抽样理论问题的工作时尤为如此。$\pi$

当然，认为我选择的约定优于其他约定对我来说是徒劳的 。但是我很难提出充分的理由来偏爱我最初在大学里学到的约定（即不涉及传统的原因）。

目前，我可以想到一个偏爱“传统”约定的正当理由：使用非unit 变换和参数表示法，可以极大地提高与Laplace变换在概念上的一致性 。同样，帽子可能比大写字母更容易丢失/混淆。$F(j\omega)$

有人可以考虑其他理由来偏爱“传统”（非单一）约定吗？这个“传统”惯例与您学到的信号处理课程（如果您修过一门课程）一样吗？您喜欢哪种惯例？

约定的选择应该是您要与之交流的对象最合适（或最熟悉）的一种。

关于对信号使用x（t）的一件事是

• $y = x^2$

和

• $y(t) = x(t)^2$

其中x仍然是输入，y仍然是输出，只是在这种情况下，它们是信号而不是数字。