“傅立叶变换不能以相同的频率测量两个相位。”为什么不呢？

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我已经读过傅立叶变换无法区分具有相同频率但具有不同相位的分量。例如，在Mathoverflow或xrayphysics中，我的问题标题来自：“傅立叶变换不能以相同的频率测量两个相位。”

为什么这在数学上是正确的？

fourier-transform fourier

— 数学震惊
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您能否区分？我敢打赌你不能。

\sin (x) + \sin (x + c)

$\sin(x) + \sin(x+c)$

— Ilmari Karonen

FT找到了可以加在一起以重构给定信号的分量。但这并不意味着这些组件实际上以某种方式存在于原始组件中。给定信号可以“构建”的方式有很多种，但信号只有一个唯一的FT。

— 所罗门慢

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这是因为与在相同的频率和不同相位的两个正弦信号的同时存在是actualy相当于一个单一的在相同频率的正弦，但是，随着一个新的相位和振幅，如下所示：

让两个正弦成分相加如下：

x (t) = a \cos (ω_{0} t + ϕ) + b \cos (ω_{0} t + θ)

$x(t) = a \cos(\omega_0 t + \phi) + b \cos(\omega_0 t + \theta)$

然后从三角测量法的操纵可以证明：

x (t) = A \cos (ω_{0} t + Φ)

$x(t) = A \cos(\omega_0 t + \Phi)$

其中

A = \sqrt{a^{2} + b^{2} + 2 a b \cos (θ - ϕ)}

$A = \sqrt{ a^2 + b^2 + 2 a b \cos(\theta-\phi) }$ 和

Φ = \tan^{- 1} (\frac{a \sin (ϕ) + b \sin (θ)}{a \cos (ϕ) + b \cos (θ)})

$\Phi = \tan^{-1}(\frac{ a \sin(\phi) + b\sin(\theta) } { a \cos(\phi) + b\cos(\theta) } )$

因此，您实际上只有一个正弦波（具有新的相位和幅度），因此没有任何区别可言。

— 脂肪32
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我的大脑必须处于关闭状态，因为我会跟踪这些东西，但是仍然有混乱在绕着旋转。换句话说，如果我们仅将它们视为两个信号，其中一个信号比另一个信号“晚”启动，但未添加它们，我们能否区分它们？是否因为一个频率不能有两个数据点而必须添加它们？谢谢。

— 马克·利兹

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@ markleeds，OP并没有说他指的是窗口式傅里叶变换，并且给出的链接清楚地表明了常规的非窗口版本。在傅立叶分析的常规版本中，假设信号由具有不同相位的正弦曲线的加权和组成。分析包括获取这些权重和阶段。它们的集合就是频谱。如果连接2个正弦曲线，则此全局傅里叶分析也无法区分它们的相位。但是，窗口傅里叶变换是专为此类工作而设计的……并不是说它做得很好。

— Stefan Karlsson

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正如我的评论所建议的那样，增加窗口傅里叶变换的提及可能是有益的。如果@ Fat32有时间，他可以提到连接2个不同频率的正弦波所涉及的不连续性，以及如果我们尝试分析为什么将一定范围的看似随机的频率添加到全局傅里叶变换中。

— Stefan Karlsson，

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嗨@markleeds，正如StefanKarlsson已经指出的那样，问题是关于两个相同频率的正弦曲线叠加（同时存在可加性）的情况。请特别注意，相位是一个相对的术语，而不是绝对的。也就是说，它是针对所选的通用（时间）原点进行测量的，该原点是上面的

。串联（如“相移键控”中的串联）允许进行窗口区分，但无论如何，您仍应参考公共时间原点来告知相位差。这就是为什么PSK接收器需要严格的脉冲时间同步；-)

t = 0

$t=0$

— Fat32，19年

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@smsc就像是在重复自己，但是如果将这两根电缆的输出相加然后通过FT分析，那么您将看到一个具有复合相位和幅度的单正弦波。但是，如果您不添加它们并分别进行分析，然后您将能够分辨出它们的相对阶段...这与DFT无关。

— Fat32

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如果您进一步阅读，则直译为“ 上面讨论的傅立叶变换的简化版本无法解决相移-傅立叶变换实际上是如何做到的？” 您会注意到一个更好的解释，它们使用正弦和余弦。

“ 相移数学（可选）。

为了了解如何将相移分解为不移位的正弦和余弦，我们需要一个三角恒等式：sin（a + b）= sin（a）* cos（b）+ cos（a）* sin（ b）。

A * sin（2 *π* f * t +φ）= A * cos（φ）* sin（2 *π* f * t）+ A * sin（φ）* cos（2 *π* f * t）

如您所见，相移将正弦信号的某些幅度（能量）移动到余弦信号中，但是频率没有变化。如果使用傅立叶变换的复数表示，则相移仅表示值在复平面中的旋转，而幅度不变。相移仅使振幅从正弦移动到余弦这一事实意味着，将两个具有相同频率和不同相位的信号相加，将得到一个在该频率处具有整体（平均）相移的信号，而不会存储任何分量。”

实际上，它更复杂，请参阅“ 部分傅里叶技术 ”，“ 相位共轭对称 ”和“ FOV和k空间 ”。在“ 相位编码简介-I ”中，他们解释了：

“ ...当两个频率相同但相位不同的正弦波（A和B）加在一起时，结果是另一个频率相同但相位不同的正弦波。当这些正弦波在相位上接近时，它们会相长地相乘。干扰，并且当相位不同时，它们会造成相消干扰。

...仅查看它们的总和，您仅会看到一定频率和相位的正弦波。从这个单一的观察结果中，不可能分出A波和B波的个人贡献。

但是，通过对A和B进行不同相位的两个观察，可以仅查看它们的总和来确定它们的个体贡献。下面在MR图像中对此进行了说明，其中A和B是同一垂直列中以相同编码频率（ω）谐振的两个像素。具体来说，在步骤0（基准线，当未应用相位编码梯度时）可以将来自A＆B的总信号写为：So（t）= A sinωt+ B sinωt=（A + B）sinωt。

...

从步骤1的这一单次测量中，我们仍然不知道单个振幅A和B，仅知道它们的差（AB）。结合使用来自步骤0和步骤1的信息，我们能够通过简单的代数提取独特的信号贡献：

½[So + S1] =½[（A + B）+（AB）] = A 和 ½[So-S1] =½[（A + B）-（AB）] = B

”。

否则，它看起来像这样（图像A）：

PFI显示来自各种算法的伪像：（A）基本算法，（B）BAX算法，（C）零填充算法，（D）使用具有先验常数，线性SDPS校正的数据的基本算法，说明了来自高阶SDPS的伪像。

— 抢
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$c\cos(\omega t+\phi)$ $Re(ce^{(\omega t+\phi)i})$ $Re$ $c_1\cos(\omega t+\phi_1)+c_2\cos(\omega t+\phi_2)=Re(c_1e^{(\omega t+\phi_1)i}+c_2e^{(\omega t+\phi_2)i})$ $ae^{\omega t i}$ $Re(e^{\omega t i}(c_1e^{\phi_1i}+c_2e^{\phi_2i}))$ $c e^{\phi i}$ $c$ $\phi$

因此，虽然两个信号都影响输出的幅度，但附加信号将不会影响输出在相空间中的位置。

— 积累
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我想用圆和求出几何形式的问题的路径。

正弦和余弦是“仅”是类cisoids的实部和虚部，或者是复杂的指数（可以在“我如何直观地解释复杂的指数”中找到一些参考信息？，分析信号的3D摆动图：Heyser开瓶器/螺旋形，傅立叶变换身份）。

$s_{\omega,\phi}(t) = e^{2\pi i (\omega t+\phi)}$ $\mathrm{Re}(s_{\omega,0}(t))=\cos(2\pi \omega t)$ $\mathrm{Im}(s_{\omega,\pi/2}(t))=\cos(2\pi \omega t)$ $\omega$

{一种}_{1} s_{ω ， ϕ_{1}} （ Ť ） + {一种}_{2} s_{ω ， ϕ_{2}} （ Ť ） ？

$a_1 s_{\omega,\phi_1}(t) +a_2 s_{\omega,\phi_2}(t)\,?$

$a_1$ $a_2$ $e^{2 \pi i\phi_1}$ $e^{2 \pi i\phi_2}$

s_{ω, 0} (t) + a s_{ω, ϕ} (t),

$s_{\omega,0}(t) +a s_{\omega,\phi}(t)\,,$

$|a|<1$

\begin{matrix} (1) & e^{2 π i (ω t)} + a e^{2 π i (ω t + ϕ)} \end{matrix}

$e^{2\pi i (\omega t)}+ae^{2\pi i (\omega t+\phi)}\label{a}\tag{1}$

and thus as:

\begin{matrix} (2) & (1 + a e^{2 π i ϕ}) e^{2 π i (ω t)}, \end{matrix}

$(1+ae^{2\pi i\phi})e^{2\pi i (\omega t)}\,,\label{b}\tag{2}$

which is another harmonic component with same frequency, but a different phase and amplitude. The complex number $(1+ae^{2\pi i\phi})$ could be rewritten as $\alpha e^{2\pi i\varphi}$ , with trigonometric rules as detailed by @Fat32 (which I could detail later if needed). Now, let us geometrize the intuition. The unit circle is the motion of a point (say the tip of the valve) on a running bicycle wheel. The $a$ -radius circle is like a small spinning wheel attached to the valve (like the blue and red circles only from the picture above). An now, we look at the motion of a dot on the perimeter of the small wheel.

What does your question ask: if the angular rotation of the small an the big wheel are the same, you cannot tell whether the motion of the dot results from the combination of the motion of two wheels of radii $1$ and $a$ (with some initial angle) or from a single bigger wheel (of radius $\alpha$ ), with some other starting angle. This is what is mean by $\ref{a}$ and $\ref{b}$ .

In other words, neither a Fourier transform, nor a human eye, can distinguish components with the same frequency but different phase.

[[I'll add animations if I find the time]]

— Laurent Duval
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