对于各种FT-CFT，DFT，DTFT和Fourier系列，最清晰，最直观的解释是什么？

30

即使已经研究了一段时间，我还是会忘记[如果我有一段时间没有联系]它们之间的关系以及它们各自代表什么（因为它们具有类似的发音）。我希望您能提出一个如此直观，数学上如此优美的解释，以至于它们将永远被嵌入到我的内存中，并且在我[或任何其他人]需要它时，该线程将充当超级快速的入门者。

fourier-transform

— 维涅什
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2

可能应该从傅里叶级数开始

— endolith 2011年

您对Pontryagin对偶性熟悉吗？

— Lorem Ipsum

@yoda-否。能否请您详细说明或为我提供一些参考？[我当然会用谷歌搜索出来。]

— Vighnesh

1

“关于图像处理的史蒂夫”：傅立叶变换正好解决了这个问题。

— nobar 2014年

我不在这里重写答案（除非要求）。但是，在“我可以研究连续时间傅立叶变换并将其余部分当作 @LoremIpsum

— Laurent Duval

24

我写这份讲义是对Oppenheim和Willsky的补充。请看下面第14页的表4.1。（单击查看大图。）我专门编写了该表来回答您的问题。

请注意这四个操作之间的异同：

“系列”：时间周期，频率离散
“转换”：时间不定期，频率连续
“连续时间”：时间连续，频率不定期
“离散时间”：时间离散，频率周期性

希望这些说明对您有所帮助！请随意分发。

— 史蒂夫·乔亚
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1

好总结。注意，上表中引用的“离散时间傅立叶级数”通常称为离散傅里叶变换（DFT）。

— 杰森R

有点刺耳，这个答案确实像Jason R所说的那样是一个很好的总结，值得永久保留在dsp.SE上，以便每个人都可以链接到它以供将来参考，但是它并不能真正响应所提出的问题以直观的方式解释这些问题（明晰性可能是一项额外的奖励，因为在标题中已提及，但在问题的文本中未提及，因此并非绝对必要）。

— Dilip Sarwate

2

Steve的回应很好-我相信这是OP所寻找的。简短，甜美并切入要点。

— Spacey

您的讲义第2页底部的打印错误吗？它说：

。没有这意味着

？

x (t) b (t - t_{0}) = x (t_{0}) b (t - t_{0})

$x(t)b(t-t_0)=x(t_0)b(t-t_0)$

\int_{- \infty}^{\infty} x (t) b (t - t_{0}) d t = x (t_{0})

$\int_{-\infty}^{\infty}x(t)b(t-t_0)dt = x(t_0)$

— mbaitoff

1

没有印错。您的两个陈述都是正确的，但我打算写第一个陈述，因为指南的这一部分描述了单位冲量的基本公理定义。第二条语句，然后从这些定义导出：

。

\int_{\infty}^{\infty} x (t) δ (t - t_{0}) d t = \int_{\infty}^{\infty} x (t_{0}) δ (t - t_{0}) d t = x (t_{0}) \int_{\infty}^{\infty} δ (t - t_{0}) d t = x (t_{0})

$\int_{\infty}^{\infty} x(t)\delta(t-t_0) dt = \int_{\infty}^{\infty} x(t_0)\delta(t-t_0) dt = x(t_0) \int_{\infty}^{\infty} \delta(t-t_0) dt = x(t_0)$

— 史蒂夫·乔亚

9

为了对这些概念进行清晰，正确的解释，您必须阅读一些标准教科书（Oppenheim-Schafer，Proakis-Manolakis或Richard Lyons的“ Understanding Digital Signal Processing”，这是一本很好的书，但相对不那么受欢迎）。但是，假设在咖啡桌旁讨论，我将在下面发表一些极为宽松的声明。:)

对于一般的连续时间信号，您不会期望没有任何特定的频率，因此它的傅立叶变换（或连续傅立叶变换）将是一条连续的曲线，其支撑可能是-inf到+ inf。

对于周期连续信号（周期T），傅立叶表示信号为具有相同周期（T，T / 2，T / 3，T / 4，...）的正弦和余弦的组合。实际上，该信号的频谱是在位置1 / T，2 / T，3 / T，4 / T，...处的一系列尖峰。这称为傅里叶级数表示。有一个定理说，当您在均方意义上包含越来越多的正弦和余弦（或复指数）时，任何周期性连续时间信号的傅里叶级数表示都会收敛到该信号。

到目前为止的道德：时间的周期性=>尖峰频谱

进入离散时间...如果您采样连续时间信号会怎样？应该清楚的是，对于足够高的信号，您将无法重构该信号。如果您不对信号中的频率做出任何假设，那么给定采样信号，就无法说出真正的信号是什么。换句话说，在离散时间信号中等效地表示不同的频率。通过一些数学运算，您可以从原始连续信号中获取采样信号的频谱。怎么样？您将连续时间信号的频谱偏移+ -1 / T，+-2 / T，...，并添加所有偏移的副本（具有一定的缩放比例）。这将为您提供周期为1 / T的周期性连续光谱。（注意：由于时间采样，频谱是周期性的，时间信号不会不必是周期性的）由于频谱是连续的，因此您也可以仅用其一个周期来表示它。这就是DTFT（“离散时间”傅立叶变换）。如果您的原始连续时间信号的频率不高于+ -1 / 2T，则频谱的移位副本不会重叠，因此，您可以通过选择频谱的一个周期来恢复原始连续时间信号（奈奎斯特采样定理）。

另一种记住方式：尖峰时间信号=>频谱周期性

如果您以采样周期T / k采样约k的连续时间周期信号，会发生什么情况？好吧，连续时间信号的频谱非常尖锐，并且通过T的一个约数进行采样就意味着移位后的副本中的尖峰恰好落在1 / T的倍数上，因此生成的频谱是尖峰的周期性频谱。尖峰周期时间信号<=>尖峰周期频谱（假设周期和采样频率如上所述“非常相关”。）这就是所谓的DFT（离散傅立叶变换）。FFT（快速傅立叶变换）是一类可有效计算DFT的算法。

调用DFT的方式如下：假设您想及时分析N个样本的序列。您可以采用DTFT并处理其周期之一，但是如果您假设信号是周期性的，周期为N，则DTFT会减小为DFT，并且只有N个DTFT周期的样本可以完全表征该信号。您可以及时对信号进行零填充以获得更精细的频谱采样和（更多此类属性）。

以上所有内容仅在伴随有DSP研究的情况下才有用。以上只是一些非常粗糙的准则。

— rk2
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7

令表示周期为的有界函数，即对于所有实数，。作为一个具体示例，是这样的函数。我们想找到“最佳”逼近此功能，我们希望选择系数 $x(t)$ $T$ $t$ $x(t+T) = x(t)$ $\cos(2\pi t/T)$ $a_n\cos(2\pi nt/T)$ $a_n$ 使得该平方误差是尽可能小。向外扩展的积，我们有

\int_{0}^{T} (x (t) - a_{n} \cos (2 π n t / T))^{2} d t,

$\int_0^T (x(t) - a_n\cos(2\pi nt/T))^2\,\mathrm dt,$

最左边的积分能量

通过的一个周期递送

，而最右边的积分具有值

，所以我们看到，

squared error = \int_{0}^{T} x^{2} (t) d t - 2 a_{n} \int_{0}^{T} x (t) \cos (2 π n t / T) d t + (a_{n})^{2} \int_{0}^{T} \cos^{2} (2 π n t / T) d t .

$\text{squared error} = \int_0^T x^2(t)\,\mathrm dt - 2a_n \int_0^T x(t)\cos(2\pi nt/T)\,\mathrm dt +(a_n)^2\int_0^T \cos^2(2\pi nt/T)\,\mathrm dt.$

E

$E$

x (t)

$x(t)$

T / 2

$T/2$

现在。当

，二次函数

在

（在根之间的中间

具有最小值

squared error = E - 2 a_{n} \int_{0}^{T} x (t) \cos (2 π n t / T) d t + (a_{n})^{2} \frac{T}{2} .

$\text{squared error} = E - 2a_n \int_0^T x(t)\cos(2\pi nt/T)\,\mathrm dt +(a_n)^2\frac{T}{2}.$

a > 0

$a > 0$

a z^{2} + b z + c

$az^2 + bz + c$

z = - b / 2 a

$z = -b/2a$

!!）等，因为我们已经表示的平方误差作为二次函数

，选用

最小化的平方误差是

(- b / 2 a) \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c} / 2 a

$(-b/2a) \pm \sqrt{b^2 - 4ac}/2a$

a_{n}

$a_n$

a_{n}

$a_n$

同样，选择

作为

a_{n} = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} x (t) \cos (2 π n t / T) d t .

$a_n = \frac{2}{T}\int_0^T x(t)\cos(2\pi nt/T)\,\mathrm dt.$

b_{n}

$b_n$

最小化之间的平方误差

和

。因此，我们看到傅立叶级数不过是一种廉价的技巧，它可以根据相同周期的正弦和余弦信号及其谐波找到与周期函数

的最小平方误差近似值。

b_{n} = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} x (t) \sin (2 π n t / T) d t

$b_n = \frac{2}{T}\int_0^T x(t)\sin(2\pi nt/T)\,\mathrm dt$

x (t)

$x(t)$

b_{n} \sin (2 π n t / T)

$b_n\sin(2\pi nt/T)$

x (t)

$x(t)$

— 迪利普·萨瓦特（Dilip Sarwate）
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4

Endolith是正确的，如果您实际上是从傅立叶级数开始的，然后看看它如何扩展到傅立叶变换，那么事情开始变得很有道理。我在这个答案的前半部分对此做了简短的解释。

通过Pontryagin对偶护目镜，一种很好的（也许不是很简单）的方法来研究傅立叶变换族（我的意思是上面列出的4个）。它为您提供了一种记住原始域和转换域的不同转换的好方法。

$\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$

$n$ $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ $n$ $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$

$\mathbb{T}$ $\mathbb{Z}$ $\mathbb{Z}$ $\mathbb{T}$

这个答案还没有完全完成，我也许会在有空的时候以这个答案为基础来阐明一些要点，但是在此之前，直到您从其他人那里获得更直观的解释之前，这可能是一个值得思考的问题。还可以尝试在Wikipedia上阅读傅立叶分析的变体。

— 洛普伊普森
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3

我认为最重要的是从根本上了解我们为什么需要傅立叶变换。它们是许多可能的信号转换之一，但也是最有用的信号转换之一。转换基本上将信号转换到另一个域，这可能使我们对该域中的信号有深入了解，或者可能是该域在数学上很容易工作。一旦在该域中完成工作，我们就可以进行逆变换以更轻松地获得所需的结果。

傅立叶理论中最基本的组成部分是单调（正弦和余弦）。我们可以使用傅立叶数学将信号分解成其频率成分（单调）。因此，傅立叶变换基本上将信号从时域变换到频率域。傅立叶级数中每个单调的系数告诉我们信号中该频率分量的强度。傅里叶变换（CFT，DFT）显式地为我们提供了信号的频域视图。在自然界中，正弦和余弦是突出的波形。诸如方波之类的合成信号或具有剧烈波动的信号不太可能自然发生，并且不足为奇地由无限范围的频率组成，如通过傅立叶变换非常清楚地解释的那样。人们怀疑是否可以将任何信号作为正弦/余弦的总和来表达。傅立叶显示的方波（远离正弦/余弦）确实可以。白噪声包含所有具有相等强度的频率。

同样，如果您正在处理傅立叶级数，则可以将系数和相位项视为正确叠加组成的正弦波形所需的值，以便叠加确实是进行变换所需的信号。当进行傅立叶变换时，复数隐含每个单调的相位项和所需的幅度。（积分大致类似于求和。continuous=> integration，discrete => summary）

我认为，一旦您了解了概念的主题，剩下的只是您自己必须通过阅读书籍来理解的细节。阅读有关傅立叶变换在各个领域的应用的知识，可以使您更好地理解。

— 阿卜舍克
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2

DFT是数对向量从一个正交空间到另一个正交空间的变换。通常以数值计算方式完成。由于某种原因，当从现实世界中提取一堆数字时，第二堆数字常常证明与足够有用的东西足够接近。

我想起了自然科学中数学的不合理有效性，特别是在将DFT应用到许多系统时，似乎可以通过各种二阶微分方程来近似，甚至是我刚掉下的咖啡勺的声音。

其他3个XYZ-FT假设一些神话般的无限实体的存在，以帮助在咖啡变得太冷之前将符号解决方案安装到白板上。它们是信号处理的“球形牛”。DTFT和傅立叶级数假装一个向量可以无限扩展，而另一实体的密度无限。傅立叶级数假装这两个实体可以是无限连续的函数。

参加足够的数学课程，甚至可以确定所有的定义和假设，以使这些虚构的实体在某种意义上能够准确而完整地完成对偶。

— hotpaw2
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您第一句话中的“正交空间”是什么意思？什么是空间正交来，还是什么特殊的属性不会的空间有，你是从运行的设施，工厂等场所通过它赐予形容词“正交”区别开来？

— Dilip Sarwate

也许“正交”向量空间的更正确术语？

— 2011年

我通常看到“正交”和“正交”被用作形容词，用于向量或矩阵的少量集合。

x

$\mathbf x$ 和

y

$\mathbf y$ 是正交的

⟨ x, y ⟩ = 0

$\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\rangle=0$ 正交性还要求向量具有单位长度。矩阵

A

$A$ 称为正交，如果

A A^{T}

$AA^T$ 是对角矩阵，如果

A A^{T}

$AA^T$ 是单位矩阵。是否正交或正交空间等于说所有的空间向量相互正交或正交且具有单位长度呢？如果是这样，您能举一个这样的例子吗？

— Dilip Sarwate

The dot product between all sines or cosines that are exactly periodic in a DFT aperture length is zero, except for identical frequency functions. Even if N is larger than the number of coffee beans in the bag. Make them unit amplitude for orthonormal.

— hotpaw2

Your space is the space of

N

$N$ -vectors of complex numbers (since you said "vectors of pairs of numbers"). There are no sines and cosines in the space, only

N

$N$ -tuples of complex numbers, and any orthogonal or orthonormal set of such

N

$N$ -vectors can contain at most

N

$N$ such

N

$N$ -tuples. I would recommend deleting your comment above, and possibly even your whole answer.

— Dilip Sarwate