DSP中不稳定系统的确切含义是什么？

在物理系统中，我理解稳定或不稳定的含义是什么。例如，如果运算放大器工作在正反馈状态，则它会饱和或开始振荡（即不会有任何稳定状态）。我很清楚。

但是我无法理解当我们说IIR滤波器（或任何其他数字系统）可能变得非常不稳定时的确切含义。

• 数字信号处理器内部究竟发生了什么，输出物理上又发生了什么？
• 在这种情况下，不稳定的系统到底是什么意思？

不稳定通常表示有界输入的无界输出。换句话说，尽管输入完全正常且具有“正常”大小，但滤波器的输出可以无限大。一个简单的例子就是差分方程。如果我们计算阶跃响应，即，我们得到y [0] = 1，y [1] = 2，y [2] = 3 ...即使输入是一个表现良好的信号，以1为界。$y[n] = x[n] + y[n-1]$$x[n] = u[n]$

不稳定的IIR滤波器的作用类似于不稳定的运算放大器电路，不同之处在于输入和输出是数字流而不是电压流。

因此，输出可能会发生振荡，卡在最小值/最大值或通常被弄皱。就像一个不稳定的运算放大器电路一样，它可能对某些输入有效，而对另一些振荡。

如果设计错误，则涉及反馈的几乎所有类型的系统都可能不稳定。这是因为某些输出会反馈到输入中（因此会被反馈！），因此不稳定的系统会不断反馈越来越多的信息，直到变得疯狂为止。

IIR滤波器和运算放大器没有什么特别的-它们都具有反馈，并且根据表示传递函数的反馈部分的极点，它们可能是稳定的也可能是不稳定的。

这实际上是FIR数字滤波器和IIR数字滤波器之间的区别：FIR滤波器没有任何反馈，因此它们永远不会不稳定（这里的权衡是，等效的FIR滤波器通常需要进行大量计算）。它们基本上是纯前馈，而不是像IIR一样有反馈（也可能有一些前馈）。

IIR滤波器具有极点，这意味着它具有来自系统输出的反馈，该反馈将该因子纳入其输出计算。为了使系统稳定，离散时间系统的极点绝对值必须小于1。这等于使极点落在复平面（通常是指与系统的z域传递函数关联的z平面）的单位圆内。

“现实世界”系统（可以用具有恒定系数的线性微分方程建模的系统，因此可以用Laplace域或S域中的传递函数表示）的类似情况是，系统传递函数的极点必须在S平面的左侧。

对于离散时间系统，如果极点在单位圆之外，则内部表示的值以及系统输出会无限制地增长。如果极点位于单位圆上，则系统内部的值以及输出可能会振荡。

对于稳定的系统，内部值和系统输出应该是系统输入的函数。如果系统是振荡的，或者其值超过用于表示内部值的数字的大小（寄存器溢出），则情况并非如此。

如果极点太靠近单位圆，则系统可能会稍微稳定。在这种情况下，系统可能会在某些有限的输入条件下运行，但对于其他条件可能会变得不受控制。其原因是DSP系统固有地是非线性的。内部值通常使用定点算术表示，并且始终存储在有限大小的寄存器中，因此，如果超过了可以表示的最大值，则系统将发生非线性。DSP系统的另一个特点是信号被量化。信号量化为系统增加了低电平非线性影响。量化误差通常被建模为噪声，但它可能与系统值相关，并导致称为极限循环的振荡。

必须注意避免定点表示饱和（达到绝对最大值）。通常认为，如果超过了绝对值，则最好将表示形式保持在最大值，而不是导致该值的符号反转。这称为饱和限制，它在保留允许符号反转的系统行为方面做得更好。

通常，不稳定的DSP系统会由于内部非文学而饱和到固定值或以混乱的方式振荡。

当系统不稳定时，即使系统的输入是有限的，系统的输出也可能是无限的。这引起许多实际问题。例如，不稳定的机器人手臂控制器可能会导致机器人危险地移动。同样，不稳定的系统通常会遭受一定程度的物理损坏，这可能会造成很高的成本。但是，许多系统本质上是不稳定的-例如，战斗机或升空时的火箭就是自然不稳定的系统。尽管我们可以设计稳定系统的控制器，但首先重要的是要了解什么是稳定性，如何确定稳定性以及重要性。

如果系统的输出对于施加的有限输入信号而言是无限的，则称该系统不稳定。