哪个IIR滤波器近似于高斯滤波器？

因此，最近让我想到的是，尽管Bessel过滤器与其他常见类型一起被列出，但它确实是属于不同“类”的奇异球，我正在尝试了解更多信息。

矩形幅度响应表示理想的频域响应，因为过渡带为零，阻带具有无限衰减。另一方面，高斯幅度响应表示理想的时域响应，因为在脉冲响应和阶跃响应中不会出现过冲。在实践中获得的许多响应都是这些理想^源的近似值

因此，砖墙滤波器是具有Sinc函数的卷积，并且具有以下频域属性：

• 平坦通带
• 零阻带
• 无限下降率/无过渡带

这是没有因果的，因为两个方向上的尾巴都无限，所以无法实现。这些IIR滤波器使它近似，随着阶次的增加，近似值也随之提高：

• 巴特沃思（最大平坦通带）
• 切比雪夫（具有阻带或通带纹波的最大滚降率）
• 椭圆形（具有阻带和通带纹波的最大滚降率）
• Legendre （单调通带的最大滚降率）

的高斯滤波器是卷积用高斯函数，并且具有这些时域性能：

• 零超调
• 最短的上升和下降时间
• 最小群延迟

由于与sinc函数相同的原因，它是无法实现的，并且可以由这些IIR滤波器近似，随着阶数的增加更接近：

• 贝塞尔（最大平坦群延迟）^根据1和2

$e^{-{1 \over 2}(\pi \omega)^2}$

所以我的问题是：

到目前为止一切都正确吗？如果是这样，还有其他近似高斯的IIR滤波器吗？它们针对什么进行了优化？也许可以最大程度地减少过冲？

如果您搜索“ IIR高斯”，您会发现一些东西（Deriche？van Vliet？），但我不知道它们是否真的与Bessel相同，或者是否针对其他属性进行了优化等。

该过的Deriche和凡弗利特过滤器是启发式。在这两种情况下，他们都选择极点和零点的位置，以最小化RMS差或高斯滤波器的脉冲响应的最大差。

两个过滤器都是因果对因果对。因此，我认为它们没有相位误差或组延迟，但是您需要能够在数据上同时向后运行它们。这使它们在图像处理中很受欢迎，但可能会限制它们在其他地方的适用性。

调整它们的大量论文证明了它们是启发式的。例如，谷歌搜索（当我正在寻找Deriche论文的链接时）打开了这个搜索，试图解决Deriche高斯导数滤波器没有正好为0的DC响应的问题。关于正确初始化边界条件，还有一些有趣的问题。

我发现以下概述是一个很好的参考资料：戴夫·黑尔（Dave Hale），递归高斯滤波器，科罗拉多矿业学院波浪现象中心报告CWP-546。

我想您对离散时间IIR滤波器的现有分析解决方案给出了很好的总结。但是，我还将贝塞尔滤波器添加到近似理想频率选择滤波器特性的滤波器列表中。它的幅度响应没有像其他相同阶数的滤波器类型那样显示出急剧的跃迁，但这是您为通带中几乎线性相位付出的代价。因此，贝塞尔滤波器是频率选择性幅度响应和良好相位响应之间的折衷方案。

为了用IIR滤波器近似高斯滤波器，除了您提到的Bessel滤波器之外，我不知道任何解析解。但是请注意，贝塞尔滤波器并不是要逼近高斯滤波器，因此我不确定逼近此类滤波器的效果到底有多好。如果您真的想要一个IIR滤波器用于此目的，我建议您对高斯滤波器进行数值近似。有几种方法可以做到这一点。

您可以尝试在频域中近似高斯滤波器。问题是您必须对所需的相位响应做出一些决定。具有最小相位响应的纯幅度近似很可能导致非常差的时域特性。如果指定线性期望相位，则会遇到一个复杂的近似问题（因为用幅度和相位来近似复杂的频率响应）。即使这种近似问题很难解决，文献中也存在一些方法。

一种更简单且可能更好的方法是在时域中近似高斯滤波器。Prony的方法将是一个很好的起点。

请注意，这些只是我对此主题的看法。我没有尝试自己设计IIR高斯滤波器。除非有充分的理由反对，否则我实际上会去实施FIR。

编辑：关于贝塞尔滤波器是否近似于高斯的问题，仅作了几点说明。我不知道贝塞尔滤波器在逼近高斯滤波器时会最小化任何有意义的误差标准。我很乐意了解它。人们可能会说贝塞尔滤波器的脉冲响应看起来与高斯相似，或者它的频率响应类似于高斯，但是我还没有看到贝塞尔滤波器在任何意义上都近似于高斯的证据，并且近似误差为过滤器阶数增加时为零。我不否认它比其他标准滤镜（Butterworth，Chebyshev等）更类似于高斯，但这对这个问题并不重要。

参见下面四张以八度设计的贝塞尔滤波器（阶数5、10、15、20）的脉冲响应（函数besself）。如您所见，尾部的振铃不会随着滤波器阶数的增加而减少，而且我也看不到这些滤波器如何近似于高斯，如果是这样，则根据哪种最优性准则。但是，如果有人能启发我，我会很高兴。