通过使用较大步长的差=与矩形窗卷积来计算信号的平滑导数

我在采样的信号其中，i = 0到n-1。我想找到信号的一阶导数：f'（t）。$\Delta t: fi(ti=i\Delta t)$

我首先想到的是通过一个中心差异来估算：

$f'(t_i) =\frac{f(t_{i+1})−f(t_{i−1})}{2\Delta t}$

但是，该信号可能会有很多高频噪声，可能会导致f'的快速波动。我猜正确的选择可能是通过与窗口函数（例如Hann）进行卷积来平滑信号，然后从差异中找到导数。

一位同事建议了一种更快的求导数平滑估计的方法：对2n个样本使用中心差，其中n >> 1：

$f'(t_i) =\frac{f(t_{i+n})−f(t_{i−n})}{2n\Delta t}$

当然，这将比首先使用窗口函数进行卷积运算具有更快的速度，但这是一个好的解决方案吗？

如果我们求和：

$S=2\Delta t[f'(t_{i-n+1})+f'(t_{i-n+2})+..+f'(t_{i+n-1})]$

并扩大通过与步骤中央差各衍生物：$\Delta t$

$S=f(t_{i-n+2})-f(t_{i-n})+f(t_{i-n+3})-f(t_{i-n+2})+..+f(t_{i+n})-f(t_{i+n-2})$

除两个以外的所有条款都被取消：

$S=f(t_{i+n})-f(t_{i-n})=2n\Delta tf'(t_i)$

因此：

$f'(t_i)=\frac{1}{n}[f'(t_{i-n+1})+f'(t_{i-n+2})+..+f'(t_{i+n-1})]$

因此，取2n个样本的中心差等于先对大小为2n-2的矩形窗口进行卷积，然后取+/- 1个样本的中心差。

用矩形窗口平滑有多“不好”？

如果我们进行FFT，这将导致“振铃”，但是我们不需要进行FFT。

预先感谢您的任何回答！

通常这是一个很难解决的问题。一直使用矩形窗口进行平滑（通常称为“移动平均值”），因此这不一定是问题。我不确定您指的是什么响声，也许是矩形窗口的频率响应的旁瓣。

差分本质上是高通操作；理想的连续时间微分器具有以下传递函数：

因此其幅度响应为：

因此，微分器的增益随频率单调增加。如果您的信号包含高频噪声，则可以通过应用微分器将其放大。为了解决这个问题，显然有两种方法：

• 设计一个更复杂的微分滤波器，使其在覆盖感兴趣信号的频段部分具有所需的线性幅度响应，然后急剧衰减更高的频率。例如，您可以使用最小二乘法或频率采样方法设计此类滤波器。

• 使用级联方法，首先要抑制所有可以使用低通滤波器的高频噪声，然后再使用微分器。微分器的频率覆盖范围不必太紧，因为低通滤波器将消除带外噪声。

如果您使用线性滤波器，则这些方法应该大致等效；您可能会想到第一个单滤波器方法只是微分器和低通滤波器的级联。如您所述，可以通过这种方式对中心差方法进行建模。没有您的应用程序知识，很难有人说这是“不好的”。我的主要思想是，如果平滑操作有形地衰减您感兴趣的信号，则这是“不好的”，这样导数估计将不再有用。但是，如果信号的参数使得您可以平滑噪声而又不会使信号明显失真（即，如果信号被充分地过采样），那么这将是一个胜利。