使用动态编程技术如何解决“披萨拣选问题”？

温克勒的披萨挑选问题：

一片圆形比萨饼饼n，其中切片i有面积，S_i即每个饼片的面积都不同。
食者爱丽丝（Alice）和鲍勃（Bob）轮流采摘切片，但在馅饼中留出多个空隙是不礼貌的（考虑到不允许这样做）。
- 因此，每个食者被限制采取与开放区域相邻的两个切片之一。爱丽丝先行，两个食客都在寻找尽可能多的馅饼。

如果Alice和Bob都能完美地发挥其比萨饼的消费量，那么动态编程算法将如何确定Alice吃多少馅饼？

我的理解：

在一般的DP问题中，我们继续寻找可以使用递归树或更紧密地使用DAG可视化的子问题。在这里，我没有找到任何线索可以找到这里的子问题。

在这里，对于给定的S_i集合，我们需要最大化Alice所吃的切片的面积。这将取决于从（n-1）个排列中选择一个披萨片的排列。在每n \ 2圈内，Alice会从两个可用选项中选择一个最大面积切片，这将为我们提供置换的切片总面积。我们需要找到所有此类排列的切片区域。然后从这些中最大化。

有人可以帮助我前进吗？

algorithms dynamic-programming

— 阿米特·谢卡（Amit Shekhar）
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Answers:

首先考虑刚刚放在一行中的切片，然后可以从两端之一中进行选择。在这种情况下，假设该轮到你来选择很明显，pizzaAmount(slices)是

如果没有比萨饼，则结果为0
如果只有一个切片结果就是该切片
如果至少有两个切片，则结果为：

（使用Python语法）

max(slices[0] + sum(slices[1:]) - pizzaAmount(slices[1:]),
    slices[-1] + sum(slices[:-1]) - pizzaAmount(slices[:-1]))

换句话说，您应该同时考虑这两种选择，并且在切片之后您将获得除递归调用结果之外的所有其余披萨（因为您的朋友将使用相同的策略）。

您可以使用DP（或备注）来实现此目的，因为数组确实是固定的，并且您可以仅将第一个和最后一个切片索引视为参数。

要解决原始的完整问题，您只需要尝试将所有切片作为起始切片，然后选择一个将结果最大化的切片即可。

— 6502
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谢谢“ 6502”。我可以利用“考虑刚刚放在一行上的切片并从两端之一中进行拾取”的提示来更好地形象化该问题。给定的递归关系也在照顾对手的最佳选择。我将尽快发布正式算法。谢谢你们！！

很好奇，此算法的复杂度是多少？0（n * 2 ^ n）？

@Akron：这就是没有动态编程方法或备注的情况。但是，您可以利用以下事实：do的结果pizzaAmount仅取决于其余切片的开始和结束索引，而不取决于您和您的朋友已经吃过哪些比萨饼切片的顺序，因此您可以将结果存储在矩阵以避免重新计算。因此，算法的顺序为O（n ** 2）。

— 6502

如果仍然有人难以理解，此链接将提供非常好的解释。

— 阿米特·谢卡

对于比萨饼的一部分，定义F(i,j)为最大数量的第一批人可以吃。比萨饼的一部分(i,j)是：

if i <= j than slices i, i+1, ..., j-1, j
if i > j than slices i, i+1, ..., n-1, n, 1, 2, ..., j-1, j
and we don't define it for whole pizza, abs(i-j) < n-1

将R(i,j)（第二人称剩余多少）定义为sum(S_x, x in slices(i,j)) - F(i,j)。

带有：

F(i,i) = S_i,
F(i,j) = max( S_i + R(i+1,j), S_j + R(i,j-1) ),

爱丽丝最多可以吃的食物由以下公式计算：

max( S_i + F(i+1, (i-1) if i > 1 else n) ).

— 赌注
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