浮点舍入误差的解决方案

在构建处理大量数学计算的应用程序时，我遇到了某些数字会导致舍入错误的问题。

虽然我知道浮点数不是精确的，但问题是我如何处理确切的数字，以确保在对它们进行计算时，浮点数舍入不会引起任何问题？

创建可替代浮点数舍入的数字类型的三种基本方法。这些的共同主题是它们以各种方式使用整数数学。

合理性

用分子和分母表示作为一个整体的数字和有理数。该数字15.589将表示为w: 15; n: 589; d:1000。

当加到0.25（即w: 0; n: 1; d: 4）时，这涉及计算LCM，然后将两个数字相加。这在许多情况下效果很好，但是当您使用彼此互质的许多有理数时会产生非常大的数。

固定点

您有整个部分，还有小数部分。所有数字均以该精度四舍五入（有一个字-但您知道它在哪里）。例如，您可以有3个小数点的不动点。 15.589+ 0.250变成589 + 250 % 1000小数部分的加法（然后是整个整数的任何进位）。这对于现有数据库非常有效。如前所述，这里有四舍五入，但是您知道它的位置，并且可以指定它的精度，使其比所需的精度更高（您只测量到3个小数点，因此将其固定为4）。

浮动定点

存储值和精度。 15.589存储为15589值和3精度，而0.25存储为25和2。这可以处理任意精度。我相信这是Java BigDecimal的内部用法（最近没有查看过）的用途。在某个时候，您将需要使它退回到这种格式并显示出来-这可能涉及四舍五入（同样，您可以控制它的位置）。

确定表示形式的选择后，您可以找到使用该表示形式的现有第三方库，也可以编写自己的库。编写自己的代码时，请确保对其进行单元测试，并确保正确进行数学运算。

如果浮点值存在舍入问题，而您又不想遇到舍入问题，那么从逻辑上讲，唯一的做法是不使用浮点值。

现在的问题变成：“我该如何进行不包含浮点变量的非整数值的数学运算？” 答案是任意精度的数据类型。计算较慢，因为它们必须用软件而不是硬件来实现，但它们是准确的。您没有说使用什么语言，所以我不推荐一个软件包，但是对于大多数流行的编程语言都有任意的精度库。

浮点算术通常非常精确（a的15个十进制数字double）并且非常灵活。当您在做数学运算时，这些问题就会浮出水面，从而大大降低了精度位数。这里有些例子：

• 减法取消：1234567890.12345 - 1234567890.12300，结果0.0045只有两位十进制数字的精度。每当您减去两个相似幅度的数字时，就会发出警告。

• 吞没精度：1234567890.12345 + 0.123456789012345计算为1234567890.24691，第二个操作数的最后十位丢失。

• 乘法：如果将两个15位数字相乘，则结果需要存储30位数字。但是您无法存储它们，因此最后15位会丢失。当与组合使用时，这尤其令人讨厌sqrt()（例如sqrt(x*x + y*y)：结果将仅具有7.5位数的精度。

这些是您需要注意的主要陷阱。并且一旦知道了它们，就可以尝试避免出现这种情况来制定数学公式。例如，如果您需要在循环中一次又一次地增加值，请避免这样做：

for(double f = f0; f < f1; f += df) {

经过几次迭代，较大的f将吞噬的部分精度df。更糟糕的是，错误将加总，导致相反的情况，较小的错误df可能导致较差的总体结果。最好这样写：

for(int i = 0; i < (f1 - f0)/df; i++) {
    double f = f0 + i*df;

因为您是将增量合并为一个乘法，所以结果f将精确到15个十进制数字。

这仅是示例，还有其他方法可以避免由于其他原因而导致精度损失。但是，考虑所涉及的值的大小，并想象如果您要用笔和纸进行数学运算，并在每一步后取整到固定位数，将会很有帮助。

如何确保您没有问题：了解浮点算术问题，或聘请有问题的人，或使用一些常识。

第一个问题是精度。在许多语言中，您都具有“ float”和“ double”（双精度代表“ double precision”），在许多情况下，“ float”可为您提供约7位数的精度，而double则为15。常识是，如果您有在精度可能成为问题的情况下，15位数字要比7位数字好得多。在许多有轻微问题的情况下，使用“ double”意味着您会摆脱它，而“ float”则意味着您没有。假设一家公司的市值为7000亿美元。用float表示，最低位是$ 65536。用double表示，最低位约为0.012美分。因此，除非您真的非常了解自己在做什么，否则请使用double而不是float。

第二个问题更多是一个原则问题。如果您进行两个不同的计算应得出相同的结果，则通常由于舍入误差而不会这样做。应该相等的两个结果将是“几乎相等”。如果两个结果接近，则实际值可能相等。或者它们可能不是。您需要牢记这一点，并应编写和使用表示“ x绝对大于y”或“ x绝对小于y”或“ x和y可能相等”的函数。

如果使用舍入，此问题会变得更加严重，例如“将x向下舍入到最接近的整数”。如果乘以120 * 0.05，结果应为6，但是得到的是“非常接近6的某个数字”。如果然后“舍入到最接近的整数”，则“非常接近6的数字”可能会“略小于6”并四舍五入为5。请注意，精度有多大无关紧要。只要结果小于6，结果就接近 6 都没关系。

第三，有些问题很难解决。这意味着没有快速简便的规则。如果您的编译器更精确地支持“ long double”，则可以使用“ long double”，看看是否有所不同。如果没关系，那么您就可以了，或者您遇到了一个棘手的问题。如果它带来了您所期望的那种差异（例如，小数点后12位的变化），那么您可能会好起来的。如果它确实改变了您的结果，那么您有问题。请求帮忙。

当大多数人看到BigDecimal大喊一声时，大多数人都会犯错，而实际上他们只是将问题转移到其他地方。Double提供符号位：1位，指数宽度：11位。有效精度：53位（显式存储52位）。由于双重性质，整个整数越大，您失去的相对精度就越高。为了计算相对精度，我们在下面使用。

在计算中，double的相对精度使用以下公式2 ^ E <= abs（X）<2 ^（E + 1）

epsilon = 2 ^（E-10）％对于16位浮点数（半精度）

 Accuracy Power | Accuracy -/+| Maximum Power | Max Interger Value
 2^-1           | 0.5         | 2^51          | 2.2518E+15
 2^-5           | 0.03125     | 2^47          | 1.40737E+14
 2^-10          | 0.000976563 | 2^42          | 4.39805E+12
 2^-15          | 3.05176E-05 | 2^37          | 1.37439E+11
 2^-20          | 9.53674E-07 | 2^32          | 4294967296
 2^-25          | 2.98023E-08 | 2^27          | 134217728
 2^-30          | 9.31323E-10 | 2^22          | 4194304
 2^-35          | 2.91038E-11 | 2^17          | 131072
 2^-40          | 9.09495E-13 | 2^12          | 4096
 2^-45          | 2.84217E-14 | 2^7           | 128
 2^-50          | 8.88178E-16 | 2^2           | 4

换句话说，如果您希望精度为+/- 0.5（或2 ^ -1），则数字的最大大小为2 ^ 52。大于此值且浮点数之间的距离大于0.5。

如果您希望精度为+/- 0.0005（大约2 ^ -11），则数字的最大大小为2 ^ 42。大于此值且浮点数之间的距离大于0.0005。

我真的不能给出比这更好的答案。用户将需要弄清楚他们在执行必要的计算时想要的精度及其单位值（米，英尺，英寸，毫米，厘米）。在大多数情况下，float足以满足简单模拟的需要，具体取决于您要模拟的世界范围。

尽管可以这么说，但是如果您仅打算模拟一个100米乘100米的世界，那么您将在2 ^ -45附近找到一个精度等级的地方。这甚至不涉及cpu内的现代FPU如何执行超出本机类型大小的计算，只有在计算完成后，它们才会四舍五入（取决于FPU舍入模式）为本机类型大小。